专题12三角形中的重要模型之面积模型三角形的面积问题在中考数学几何模块中占据着重要地位，等积变形是中学几何里面一个非常重要的思想，下面的五大模型也都是依托等积变形思想变化而成的，也是学生必须掌握的一块内容。本专题就三角形中的等积模型（蝴蝶（风筝）模型，燕尾模型，鸟头模型，沙漏模型，金字塔模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。.................................................................................................................................................1模型1.等积变换基础模型...............................................................................................................................1模型2.蝴蝶（风筝）模型...............................................................................................................................9模型3.燕尾（定理）模型.............................................................................................................................13模型4.鸟头定理（共角定理）模型.............................................................................................................18模型5.金字塔与沙漏模型.............................................................................................................................23...............................................................................................................................................27模型1.等积变换基础模型模型1）等底等高的两个三角形面积相等；如图1，当AB//，则；反之，如果，则可知直线AB//。图1图2图3模型2）两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比。如图2，当点D是BC边上的动点时，则S△ABD∶S△ADC＝BD∶DC。如图3，当点D是BC边上的动点，BE⊥AD，CF⊥AD时，则S△ABD∶S△ADC＝BE∶CF。证明：模型1）如图1，过点A作AE⊥CD、过点B作BF⊥CD。 AB//，∴AE=BF。 ；；∴。反之同理可证。模型2）如图2，过点A作AH⊥BC。 ；；∴S△ABD∶S△ADC＝BD∶DC。如图3，过点C作CF⊥AD、过点B作BE⊥AD。 ；；∴S△ABD∶S△ADC＝BE∶CF。例1．（24-25八年级上·山东德州·阶段练习）如图，若点D是边上的点，且，则与的面积之比为（）A．B．C．D．例2．（23-24八年级下·河北沧州·期中）如图，，分别是的边AB，CD上的点，与DE相交于点，与CE相交于点，若的面积为，的面积为，的面积为，则阴影部是的面积为．例3．（2024·上海浦东新·一模）如图，在中为中点，为的角平分线，的面积记为，的面积记为，则．例4．（23-24七年级下·江苏镇江·期中）【探究】如图1，是中边上的中线，与的面积相等吗？请说明理由，【应用】如图2，点A、B、C分别是、、的中点，且，则图2中阴影部分的面积为；【拓展】（1）如图3，中，延长至点F，使得，延长至点D，使得，延长至点E，使得，连接、、，如果，那么为．（2）如图4，中，，，点D、E是、边上的中点，、交于点F．若的面积为S，则四边形面积为（用含S的代数式表示）；四边形的面积存在最大值，这个值为．例5．（23-24八年级下·浙江宁波·期中）规律：如图1，直线，，为直线上的点，，为直线上的点．如果，，为三个定点，点在直线上移动，那么无论点移动到何位置，与的面积始终相等，其理由是___．应用：（1）如图，、、三点在同一条直线上，与都是等边三角形，连结，．若，，求的面积．（2）如图，已知，，，是矩形边上的点，且，，连结交于点，连结MC交于点，连结交于点，连结，若四边形的面积等于，求四边形的面积．模型2.蝴蝶（风筝）模型蝴蝶模型（定理）提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径。通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。1）任意四边形的蝴蝶定理：如图1，结论：①或；②。证明：由基础模型2）知：；；即故；...