专题16全等三角形模型之婆罗摩笈多模型婆罗摩笈多（Brahmagupta）是七世纪时的印度数学家，在世时间约是公元598年~660年。他编著了《婆罗摩修正体系》《肯达克迪迦》。《婆罗摩修正体系》中有关数学的部分涉及到有关三角形、四边形、零、负数、一阶和二阶方程的研究，《肯达克迪迦》则是天文方面的著作，研究了关于月食、日食、行星的合等问题。他提出的一些概念在世界数学史上也有很高的地位，比如负数。以他命名的婆罗摩笈多定理又称“布拉美古塔”定理。本专题我们讲的就是由婆罗摩笈多定理演化而来的“婆罗摩笈多”模型。.................................................................................................................................................2模型1.“婆罗摩笈多”模型.............................................................................................................................2.................................................................................................................................................8大家在掌握几何模型时，多数同学会注重模型结论，而忽视几何模型的证明思路及方法，导致本末倒置。要知道数学题目的考察不是一成不变的，学数学更不能死记硬背，要在理解的基础之上再记忆，这样才能做到对于所学知识的灵活运用，并且更多时候能够启发我们解决问题的关键就是基于已有知识、方法的思路的适当延伸、拓展，所以学生在学习几何模型要能够做到的就是：①认识几何模型并能够从题目中提炼识别几何模型；②记住结论，但更为关键的是记住证明思路及方法；③明白模型中常见的易错点，因为多数题目考察的方面均源自于易错点。当然，以上三点均属于基础要求，因为题目的多变性，若想在几何学习中突出，还需做到的是，在平时的学习过程中通过大题量的训练，深刻认识几何模型，认真理解每一个题型，做到活学活用！模型1.“婆罗摩笈多”模型婆罗摩笈多定理：如果一个圆内接四边形（即对角互补的四边形）的对角线互相垂直且相交，那么从交点向某一边所引垂线的反向延长线必经过这条边对边的中点（反之亦能成立）。模型特征：（1）△BCP和△ADP是两个等腰直角三角形，且直角顶点重合.模型1）知中点证垂直条件：分别以三角形ABC的边AB、AC为边，向三角形外侧外做正方形ABDE和正方形ACFG，N为EG的中点，M、A、N三点共线。结论：AM⊥BC；BC=2AN；S△ABC=S△AEG。证明：（倍长中线法）延长AN到W，使NW=NA，连接EW。在∆WEN和∆AGN中，NW=NA（已作），∠WNE=∠ANG（对顶角），EN=GN（已知）∴∆WEN≌∆AGN(SAS)，∴EW=GA，∠EWN=∠GAN。 ∠EWN=∠GAN∴EW//GA，∴∠WEA+∠EAG=180°(平行线同旁内角)。 ∠GAC=90°，∠EAB=90°，∴∠EAG+∠CAB=180°，∴∠WEA=∠CAB。 EW=GA，又 GA=AC，∴EW=AC。在∆EWA和∆ACB中：EA=AB，∠WEA=∠CAB，EW=AC，∴∆EWA≌∆ACB(SAS)。∴WA=CB，∠EAW=∠ABC， ∆ABC≌∆EAW，∴S∆EWA=S∆ACB。 ∆WEN≌∆AGN，∴S∆WEN=S∆AGN，∴S∆ACB=S∆EWA=S∆AEN+S∆EWN=S∆AEN+S∆AGN=S△AEG。 WN=AN，∴BC=2AN， ∠WAB=∠EAB+∠EAW。又 ∠WAB=∠ABM+∠AMB（三角形外角性质），∴∠EAB+∠EAW=∠ABM+∠AMB。 ∠EAW=∠ABC（∠ABC即∠ABM），∴∠EAB+∠ABM=∠ABM+∠AMB。∴∠EAB=∠AMB，∴∠AMB=90°，即AM⊥BC。模型2）知垂直证中点条件：分别以∆ABC的边AB、AC为边，向三角形外侧外做正方形ABDE和正方形ACFG，AM⊥BC。结论：N为EG的中点；BC=2AN；S△ABC=S△AEG。证明：（法1:平行线法）作EW//AG，交AN的延长线于W， EW//AG，∴∠WEA+∠EAG=180°， ∠EAB和∠GAC为正方形的角，所以两个角均为90°，∴∠EAG+∠BAC=180°，∴∠WEA=∠BAC， EW//AG，∴∠EWN=∠GAN， ∠GAN+∠MAC=90°， AM⊥BC，∴∠MAC+∠MCA=90°，∴∠MCA=∠GAN，∴∠MCA=∠EWN，在∆ABC和∆EAW中，∠BCA=∠AWE，∠CAB=∠WEA，AB=EA，∴∆ABC≌∆EAW(AAS)，∴AW=BC，∴WE=CA， CA=AG，∴WE=AG， EW//AG，∴∠WEN=∠AGN，在∆WEN和∆AGN中，∠WEN=∠AGN，WE=AG，∠ENW=GNA，∴∆WEN≌...