专题08三角形中的重要模型之弦图模型、勾股树模型弦图分为内弦图与外弦图，内弦图是中国古代数学家赵爽发现，既可以证明勾股定理，也可以此命题，相关的题目有一定的难度，但解题方法也常常是不唯一的。弦图之美，美在简约，然不失深厚，经典而久远，被誉为“中国数学界的图腾”。弦图蕴含的割补思想，数形结合思想、图形变换思想更是课堂教学中数学思想渗透的绝佳载体。一个弦图集合了初中平面几何线与形，位置与数量，方法与思想，小身板，大能量，它就是数学教育里的不老神话。广受数学教师和数学爱好者研究，近年来也成为了各地中考的热点问题。大家在掌握几何模型时，多数同学会注重模型结论，而忽视几何模型的证明思路及方法，导致本末倒置。要知道数学题目的考察不是一成不变的，学数学更不能死记硬背，要在理解的基础之上再记忆，这样才能做到对于所学知识的灵活运用，并且更多时候能够启发我们解决问题的关键就是基于已有知识、方法的思路的适当延伸、拓展，所以学生在学习几何模型要能够做到的就是：①认识几何模型并能够从题目中提炼识别几何模型；②记住结论，但更为关键的是记住证明思路及方法；③明白模型中常见的易错点，因为多数题目考察的方面均源自于易错点。当然，以上三点均属于基础要求，因为题目的多变性，若想在几何学习中突出，还需做到的是，在平时的学习过程中通过大题量的训练，深刻认识几何模型，认真理解每一个题型，做到活学活用！.................................................................................................................................................2模型1.弦图模型...............................................................................................................................................2模型2.勾股树模型.........................................................................................................................................10...............................................................................................................................................18模型1.弦图模型“弦图”就是我国三国时期的数学家赵爽，利用面积相等，形象巧妙的证明方法。所谓弦图模型就是四个全等直角三角形的弦互相垂直围成了一个正方形图形，当弦在围成的正方形之内叫内弦图模型，当弦恰恰是围城正方形的边长时就叫外弦图模型。数学具有高度的抽象性，考试中有时候不会直观明了的出现弦图模型，所以学习中我们要抓住弦图本质灵活变形，从而增强数学的变化性，培养思维灵活性，为学生提供思维的广泛联想空间，使其在面临问题时能够从多种角度进行考虑，并迅速地建立起自己的思路，真正做到“举一反三”。图1图2图3图4（1）内弦图模型：条件：如图1，在正方形ABCD中，AE⊥BF于点E，BF⊥CG于点F，CG⊥DH于点G，DH⊥AE于点H，结论：△ABE≌△BCF≌△CDG≌△DAH；证明： ∠ABC＝∠BFC＝∠AEB＝90°，∴∠ABE＋∠FBC＝∠FBC＋∠FCB=90°．∴∠ABE＝∠FCB．又 AB＝BC，∴△ABE≌△BCF，同理可得△ABE≌△BCF≌△CDG≌△DAH．（2）外弦图模型：条件：如图2，在正方形ABCD中，E，F，G，H分别是正方形ABCD各边上的点，EFGH是正方形，结论：△AHE≌△BEF≌△CFG≌△DGH；证明： ∠B＝∠EFG＝∠C＝90°，∴∠BEF＋∠EFB＝∠EFB＋∠GFC＝90°，∴∠BEF＝∠GFC．又 EF＝FG，∴△EBF≌△FCG．同理可得△EBF≌△FCG≌△GDH≌△HAE．（3）内外组合型弦图模型：条件：如图3、4，四边形ABCD、EFGH、PQMN、均为正方形；结论：2S正方形EFGH=S正方形ABCD+S正方形PQMN.证明：由（1）（2）中的证明易得：图3和图4中的八个直角三角形均全等，并用S△表示他们的面积。 S正方形ABCD=S正方形PQMN+8S△；S正方形EFGH=S正方形PQMN+4S△；∴S正方形ABCD+S正方形PQMN=S正方形PQMN+8S△+S正方形PQMN=2S正方形PQMN+8S△=2S正方形EFGH上述三类弦图模型除了考查相关证明外，也常和完全平方公式（知二求二）结合考查。（4）半弦图模型图5图6图7条件：如图5，EA⊥AB于点A，GB⊥AB...