专题24相似模型之（双）A字型与（双）8字型模型相似三角形是几何中重要的证明模型之一，是全等三角形的推广，分析图形间的关系离不开数量的计算。相似和勾股是产生等式的主要依据（其他依据还有面积法，三角函数等），因此要掌握相似三角形的基本图形，体会其各种演变和联系。相似三角形是初中几何中的重要的内容，常常与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，是中考的常考题型。本专题重点讲解相似三角形的（双）A字模型和（双）8（X）字模型．.................................................................................................................................................1模型1.“A”字模型............................................................................................................................................1模型2.“X”字模型（“8”字模型）................................................................................................................6模型3.“AX”字模型（“A8”字模型）.........................................................................................................10...............................................................................................................................................16【知识储备】A字型和8（X）字型的应用难点在于过分割点（将线段分割的点）作平行线构造模型，有的是直接作平行线，有的是间接作平行线（倍长中线就可以理解为一种间接作平行线），这一点在模考中无论小题还是大题都是屡见不鲜的。模型1.“A”字模型“A”字模型图形（通常只有一个公共顶点）的两个三角形有一个“公共角”（是对应角），再有一个角相等或夹这个公共角的两边对应成比例，就可以判定这两个三角形相似。①“A”字模型②反“A”字模型③同向双“A”字模型④内接矩形模型图1图2图3图4①“A”字模型条件：如图1，DE∥BC；结论：△ADE∽△ABC⇔＝＝。证明: DE∥BC，∴∠ADE=∠ABC，∠AED=∠ACB，∴△ADE∽△ABC，∴＝＝。②反“A”字模型条件：如图2，∠AED＝∠B；结论：△ADE∽△ACB⇔＝＝。证明: ∠AED＝∠B，∴∠A=∠A，（公共角）∴△ADE∽△ACB，∴＝＝。③同向双“A”字模型条件：如图3，EF∥BC；结论：△AEF∽△ABC，△AEG∽△ABD，△AGF∽△ADC⇔。证明: EF∥BC，∴∠AEF=∠ABC，∠AFE=∠ACB，∴△AEF∽△ABC，同理可证：△AEG∽△ABD，△AGF∽△ADC，∴＝＝。④内接矩形模型条件：如图4，△ABC的内接矩形DEFG的边EF在BC边上，D、G分别在AB、AC边上，且AM⊥BC；结论：△ADG∽△ABC，△ADN∽△ABM，△AGN∽△ACM⇔。证明: DEFG是矩形∴DG∥EF，∴∠ADG=∠ABC，∠AGD=∠ACB，∴△ADG∽△ABC，同理可证：△ADN∽△ABM，△AGN∽△ACM，∴。例1．（2024·吉林长春·三模）如图，在中，点、为边的三等分点，点、在边上，，交于点．若，则的长为．【答案】【分析】本题主要考查了平行线的性质，平行线分线段成比例定理，相似三角形的判定与性质，熟练掌握平行线分线段成比例定理和相似三角形的性质是解题的关键．利用平行线的性质得到，利用相似三角形的性质求得的长度，利用平行线分线段成比例定理求得，再利用相似三角形的判定与性质解答即可得出结论．【详解】点，为边的三等分点，，，，，，点，为边的三等分点，，点，为边的三等分点，，，，，．故答案为：例2．（2023·广东广州·模拟预测）如图，正方形内接于，点，在上，点，分别在和边上，且边上的高，，则正方形的面积为．【答案】【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，正方形的性质，线段的和与差等知识．解题的关键是根据比例表示出相应线段列方程．根据三角形相似，找到对应线段成比例列方程求解即可．【详解】解：设正方形的边长为，则， 四边形是正方形，，，，，，，，，解得：，正方形的面积为故答案为：例3．（2024·湖南永州·模拟预测）如图：中，，，，把边长分别为，，，…的n个正方形依次放在中；第一个正方形的顶点分别放在的各边上；第二个...