专题31最值模型之将军饮马模型“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李颀《古从军行》里的一句诗，由此却引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”。将军饮马问题从本质上来看是由轴对称衍生而来，同时还需掌握平移型将军饮马（即将军遛马、造桥或过桥），主要考查转化与化归等的数学思想。在各类考试中都以中高档题为主，本专题就特殊的平行四边形背景下的将军饮马问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。.................................................................................................................................................1模型1.将军饮马模型（双线段和的最小值）...............................................................................................1模型2.将军饮马模型（双线段差的最大值）...............................................................................................6模型3.将军饮马模型（多线段和的最值）...................................................................................................9...............................................................................................................................................15模型1.将军饮马模型（双线段和的最小值）条件：A，B为定点，m为定直线，P为直线m上的一个动点，求AP+BP的最小值。模型（1）点A、B在直线m两侧：模型（2）点A、B在直线同侧：mABmAB模型（1）点A、B在直线m两侧：模型（2）点A、B在直线同侧：PmABPmABA'图（1）图（2）模型（1）：如图（1），连结AB,根据两点之间线段最短，AP+BP的最小值即为：线段AB的长度。模型（2）：如图（2），作点A关于定直线m的对称点A’,连结A’B,根据两点之间线段最短，AP+BP的最小值即为：线段A’B的长度。例1．（2024·陕西西安·一模）如图，在四边形中，，，，，，E是边上的一动点，F为的中点，则的最小值为．【答案】【分析】本题考查轴对称中最短路线问题，正方形的判定，勾股定理，灵活运用将军饮马模型是解题的关键．取的中点H连接，，，，证明出F点就是与的交点，四边形是平行四边形，四边形是正方形，利用将军饮马模型得到是的最小值，再在中，利用勾股定理求出即可．【详解】取的中点H连接，，，，，四边形是平行四边形，，且点为的中点，∴，与的交点就是的中点F，连接，，，四边形是平行四边形，，四边形是正方形，A，C关于BH对称，连接，，则，，即的最小值为的长，在中，，，由勾股定理，得，故答案为：．例2．（2024·四川广安·中考真题）如图，在中，，，，点为直线上一动点，则的最小值为．【答案】【分析】如图，作关于直线的对称点，连接交于，则，，，当重合时，最小，最小值为，再进一步结合勾股定理求解即可.【详解】解：如图，作关于直线的对称点，连接交于，则，，，∴当重合时，最小，最小值为， ，，在中，∴，，∴，， ，∴，故答案为：【点睛】此题考查了平行四边形的性质，勾股定理，轴对称的性质，求最小值问题，正确理解各性质及掌握各知识点是解题的关键．例3．（2024·广东·二模）如图，菱形的一条对角线，，P是对角线上的一个动点，E，F分别为边，的中点，则的最小值是（）A．2B．C．4D．【答案】C【分析】作点关于直线的对称点，连接，根据轴对称的性质可知，证明四边形为平行四边形，为最小值，再求出菱形的边，即为的最小值．【详解】解：如图，连接，交于， 菱形，∴，，，， ∴，∴，∴，∴，，作点关于直线的对称点，连接，∴， 点为边上的中点，则点也为边的中点，∴当点、、在一条直线上时，有最小值，连接交于，∴当重合时，为最小值， 为的中点，∴，∴四边形为平行四边形，∴，∴的最小值是，故选：C．【点睛】本题考查了轴对称中的最短距离问题、菱形的性质、平行四边形的判定与性质，勾股定理的应用，学会利用轴对称的性质解决最短距离问题是解答本题的关键．例4．（2024·河南洛阳·模拟预测）如图，在扇形中，，平分交于点，点为半径上一动点．若阴影部分周长的最小...