专题25相似模型之母子型（共边共角）模型相似三角形是初中几何中的重要的内容，常常与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，是中考的常考题型。在相似三角形中存在众多的相似模型，其中“母子型”相似模型应用较为广泛，深入理解模型内涵，灵活运用相关结论可以显著提高解题效率，本专题重点讲解相似三角形的“母子”模型。.................................................................................................................................................1模型1.“母子型”模型（共边共角模型）.....................................................................................................1...............................................................................................................................................11【知识储备】母子型相似证明题一般思路方法:①由线段乘积相等转化成线段比例式相等；②分子和分子组成一个三角形、分母和分母组成一个三角形；③第②步成立，直接从证这两个三角形相似，逆向证明到线段乘积相等；④第②步不成立，则选择替换掉线段比例式中的个别线段，之后再重复第③步。模型1.“母子型”模型（共边共角模型）“母子”模型的图形（通常有一个公共顶点和另外一个不是公共的顶点，由于小三角形寓于大三角形中，恰似子依母怀），也是有一个“公共角”，再有一个角相等或夹这个公共角的两边对应成比例就可以判定这两个三角形相似。图1图2图3图41）“母子”模型（斜射影模型）条件：如图1，∠C=∠ABD；结论：△ABD∽△ACB，AB2＝AD·AC.证明： ∠C=∠ABD，∠DAB=∠BAC，∴△ADB∽△BAC，∴，∴AB2＝AD·AC.2）双垂直模型（射影模型）条件：如图2，∠ACB=90o，CD⊥AB；结论：△ACD∽△ABC∽△CBD；CA2＝AD·AB，BC2＝BD·BA，CD2＝DA·DB.证明： ∠ACB=90o，CD⊥AB，∴∠A+∠ACD=90°，∠A+∠B=90°，∴∠B=∠ACD， ∠A=∠A，∴△ACD∽△ABC，∴，∴AC2＝AD·AB.同理可证：BC2＝BD·BA，CD2＝DA·DB.3）“母子”模型（变形）条件：如图3，∠D=∠CAE，AB=AC；结论：△ABD∽△ECA；证明： AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∴∠DBA=∠ACE， ∠D=∠CAE，∴△ABD∽△ECA4）共边模型条件：如图1，在四边形中，对角线平分，，结论：；证明： 对角线平分，∴∠ABD=∠CBC， ，∴△ADB∽△DCB，∴，∴例1．（2024·河北石家庄·二模）如图，在平行四边形中，为对角线，，，，则长为（）A．B．3C．9D．【答案】A【分析】根据平行四边形，得到，继而得到，结合得到，结合证明，列出比例式解答即可．本题考查了平行四边形的性质，三角形相似的判定和性质，熟练掌握平行四边形的性质，相似的性质是解题的关键．【详解】 平行四边形，∴，∴， ，∴， ，∴，∴，∴，解得，故，故选A．例2．（2023·湖北孝感·模拟预测）阅读：两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现了黄金分割，即：点是线段上一点，若满足，则称点是的黄金分割点．黄金分割在我们的数学学习中也处处可见，比如我们把有一个内角为的等腰三角形称为“黄金三角形”．(1)应用：如图1，若点是线段的黄金分割点，若，则的长为______．(2)运用：如图2，已知等腰三角形为“黄金三角形”，，，为的平分线．求证：点是的黄金分割点．(3)如图3中，，，平分交于F，取的中点E，连接并延长交的延长线于M．，请你直接写出的长为__________．【答案】(1)(2)证明见解析(3)【分析】（1）设，则，根据黄金分割的含义可得：，即，再解方程即可；（2）证明，推出，推出，可得结论．（3）如图，连接，同理可得：，，可得，证明，，，可得是的黄金分割点，且，可得，设，再解方程可得答案.【详解】（1）解： 点是线段的黄金分割点，，设，则，∴，即，∴，∴，解得：（负根舍去），∴；（2）证明： ，，∴，又 平分，∴，∴，∴，，即，又 ，，∴，∴，∴，∴D点是的黄金分割点．（3）如图，连接，同理可得：，，∴， 为的中点，，∴，∴，∴，，∴，同理可得是的黄金分割点，且，∴，设，∴，整理得：，解得：（负根舍去），∴.【点睛】本...