专题09三角形中的重要模型之垂美四边形与378、578模型全等三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就对角互补模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。大家在掌握几何模型时，多数同学会注重模型结论，而忽视几何模型的证明思路及方法，导致本末倒置。要知道数学题目的考察不是一成不变的，学数学更不能死记硬背，要在理解的基础之上再记忆，这样才能做到对于所学知识的灵活运用，并且更多时候能够启发我们解决问题的关键就是基于已有知识、方法的思路的适当延伸、拓展，所以学生在学习几何模型要能够做到的就是：①认识几何模型并能够从题目中提炼识别几何模型；②记住结论，但更为关键的是记住证明思路及方法；③明白模型中常见的易错点，因为多数题目考察的方面均源自于易错点。当然，以上三点均属于基础要求，因为题目的多变性，若想在几何学习中突出，还需做到的是，在平时的学习过程中通过大题量的训练，深刻认识几何模型，认真理解每一个题型，做到活学活用！.................................................................................................................................................2模型1.垂美四边形模型...................................................................................................................................2模型2.378和578模型...................................................................................................................................33...............................................................................................................................................42模型1.垂美四边形模型垂美四边形的定义：对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形。图1图2图3图4条件：如图1，已知四边形ABCD，对角线AC、BD交于点O，且AC⊥BD；结论：①AB2+CD2＝AD2+BC2；②“垂美”四边形的面积等于对角线乘积的一半，即S四边形ABCD=AC∙BD。证明： AC⊥BD，∴∠AOD＝∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝90°，由勾股定理得，，，∴； AC⊥BD，∴S△ABC=AC∙BO，S△ADC=AC∙DO∴S四边形ABCD=S△ABC+S△ADC=AC∙BO+AC∙DO=AC∙BD。条件：如图2，在矩形ABCD中，P为CD边上有一点，连接AP、BP；结论：DP2+BP2=AP2+PC2证明： 四边形ABCD是矩形，∴∠ADP＝∠BCP＝90°，AD=BC，由勾股定理得，，，∴，∴。条件：如图3（或图4），在矩形ABCD中，P为矩形内部（外部）任意一点，连接AP、BP，CP，DP；结论：AP2+PC2=DP2+BP2证明：过点作的垂线，交于点，交于点，则四边形和为矩形，，由勾股定理得：则，，，．（图4的证明和图3证明相同）用处：①对角线垂直的四边形对边的平方和相等；②已知三边求一边的四边形，可以联想到垂美四边形。例1．（23-24八年级上·河北保定·期中）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点．若，，则等于（）A．B．C．D．【答案】C【分析】根据垂美四边形的性质，勾股定理的运用即可求解，本题主要考查勾股定理的运用，掌握勾股定理的计算是解题的关键．【详解】解： 四边形是“垂美”四边形，即，∴在中，，在中，，∴，在中，，在中，，∴，∴，故选：．例2．（23-24九年级上·天津·期末）如图，四边形两条对角线互相垂直，且．设，(1)用含的式子表示：_____________；(2)当四边形的面积为时，求的长；【答案】(1)(2)【分析】（1）根据进行求解即可；（2）根据（1）所求，代入进行求解即可．【详解】（1）解：如图所示，设交于点O， ，，∴， 四边形两条对角线互相垂直，∴，故答案为；；（2）解：由题意得，∴，解得或（舍去）∴．【点睛】本题主要考查了三角形面积，一元二次方程的应用，正确列出四边形的面积关系式是解题的关键．例3．（2023·江苏盐城·一模）如图，四边形的对角线和互相垂直，，则四边形面积最大值为．【答案】【分析】本题考查了二次函数最值以及四边形面积求法．直接利用对角线互相垂直的四边形面积求法得出，再利用配方法求出...