小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com专题02一元二次方程根与系数的关系重难点题型专训【题型目录】题型一利用根与系数的关系直接求代数式的值题型二利用根与系数的关系间接求代数式的值题型三利用根与系数的关系降次求代数式的值题型四构造一元二次方程求代数式的值题型五由两根关系求方程字母系数题型六根与系数关系的新定义问题题型七一元二次方程根与系数的关系综合【知识梳理】如果一元二次方程（）的两根为那么，就有比较等式两边对应项的系数，得①式与②式也可以运用求根公式得到．人们把公式①与②称之为韦达定理，即根与系数的关系．因此，给定一元二次方程就一定有①与②式成立．反过来，如果有两数满足①与②，那么这两数必是一个一元二次方程的根．利用这一基本知识常可以简捷地处理问题．利用根与系数的关系，我们可以不求方程的根，而知其根的正、负性．在的条件下，我们有如下结论：当时，方程的两根必一正一负．若，则此方程的正根不小于负根的绝对值；若，则此方程的正根小于负根的绝对值．当时，方程的两根同正或同负．若，则此方程的两根均为正根；若，则此方程的两根均为负根．⑴韦达定理（根与系数的关系）：如果的两根是，，则，．(隐含的条件：)⑵若，是的两根(其中)，且为实数，当时，一般地：①，②且，③且，特殊地：当时，上述就转化为有两异根、两正根、两负根的条件．⑶以两个数为根的一元二次方程(二次项系数为1)是：．⑷其他：①若有理系数一元二次方程有一根，则必有一根(，为有理数)．小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com②若，则方程必有实数根．③若，方程不一定有实数根．④若，则必有一根．⑤若，则必有一根．⑸韦达定理（根与系数的关系）主要应用于以下几个方面：①已知方程的一个根，求另一个根以及确定方程参数的值；②已知方程，求关于方程的两根的代数式的值；③已知方程的两根，求作方程；④结合根的判别式，讨论根的符号特征；⑤逆用构造一元二次方程辅助解题：当已知等式具有相同的结构时，就可以把某两个变元看作某个一元二次方程的两根，以便利用韦达定理；⑤利用韦达定理求出一元二次方程中待定系数后，一定要验证方程的．一些考试中，往往利用这一点设置陷阱．【经典例题一利用根与系数的关系直接求代数式的值】【例1】（2023·天津河北·统考二模）已知一元二次方程有两个实数根，则的值为（）A．6B．2C．4D．3【答案】B【分析】先根据根与系数的关系得，然后利用整体代入的方法计算．【详解】解：根据根与系数的关系得，所以．故选：B．【点睛】本题考查了根与系数的关系：若是一元二次方程的两根时，．【变式训练】小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com1．（2023·湖北武汉·统考二模）已知，是一元二次方程的两根，则的值是（）A．3B．C．2D．【答案】A【分析】先将化简，再根据一元二次方程根与系数的关系即可得到的值，从而得到答案．【详解】解：根据题意可得：，，是一元二次方程的两根，，，故选：A．【点睛】本题考查了分式的化简求值，一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系，是解题的关键．2．（2023·江西景德镇·统考二模）已知，是方程的两个根，则的值为______．【答案】【分析】先把方程转化为一般式，再根据根与系数的关系得到，，再把进行通分得到，再利用整体代入进行计算即可．【详解】解：转化为一般式为：，根据题意可得：，，小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com∴，故答案为：．【点睛】本题考查一元二次方程的根与系数的关系、整体代入求值，熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系得到，是解题的关键．3．（2022春·八年级单元测试）已知，是方程的两实数根，求：(1)，(2)的值．【答案】(1)10(2)30【分析】（1）由，是方程的两实数根，得出，，由，代入相关数据即可得；（2）代入即可．【详解】（1）解： ，是方程的两实数根，∴，，∴，∴；（2）解： ，是方程的两实数根，小学、初中、高中各种试卷真题知识归...