小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com专题09二次函数的最值和存在性问题【思维导图】◎突破一：线段周长最值【技巧】二次函数求最值通常有两种类型：一种是通过几何性质线段公理和垂线段公理求最值，常常把折的问题转化成直的问题；另一种通过函数的性质求最值。线段最值即把线段的两个端点用坐标表示出来，然后根据距离差，列出关于坐标的二次函数的表达式，化为顶点式，即可求出；在求周长的最值问题时，一般会和将军饮马问题有关，找到对称点，将周长问题转化为线段最值即可。小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com例．（2021·内蒙古通辽·九年级期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点A（﹣1，0），B（4，0），C（0，﹣2）．(1)求此抛物线的解析式和对称轴．(2)在此抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PAC的周长最小？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，说明理由．【答案】(1)y＝x2﹣x2﹣；对称轴为x＝(2)存在，P的坐标为（，﹣）【解析】【分析】（1）利用待定系数解答，即可求解；（2）连接PB，由抛物线的对称性得：PA＝PB，可得（1）解：设该抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c， 该抛物线过点A（﹣1，0），B（4，0），C（0，﹣小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com2），代入，得：解得：∴此抛物线的解析式为y＝x2﹣x2﹣． 抛物线解析式为y＝x2﹣x2﹣＝﹣∴抛物线的对称轴为x＝．（2）解：存在，理由如下：连接PB由抛物线的对称性得：PA＝PB∴△PAC的周长PA+PC+AC＝PB+PC+AC，∴当B、P、C三点共线时，PB+PC最小，即当B、P、C三点共线时，△PAC的周长最小，设直线BC的解析式为y＝kx+m，将点B（4，0），点C（0，﹣2）代入，得，解得：，即直线BC的解析式为y＝x2﹣．令x＝，则有y＝﹣2＝﹣，即点P的坐标为（，﹣）．∴在此抛物线的对称轴上存在点P，使△PAC的周长最小，此时点P的坐标为（，﹣）．【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．专训1．（2021·安徽宣城·九年级期中）如图，抛物线y＝ax2＋bx＋4（a≠0）与x轴交于A（﹣2，0），B（6，0）两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴l与x轴交于点M．（1）求抛物线的函数关系式．小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com（2）设点P是直线l上的一个动点，求△PAC周长的最小值．【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）根据点的坐标，利用待定系数法即可得；（2）作点关于对称轴对称的点，连接，先根据二次函数的解析式求出点的坐标，从而可得点的坐标，再根据二次函数的对称性可得，然后根据两点之间线段最短可得当点共线时，周长最小，最后利用两点之间的距离公式即可得．【详解】解：（1）将点代入得：，解得，则抛物线的函数关系式为；（2）二次函数的对称轴为直线，当时，，即，，小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com如图，作点关于对称轴对称的点，连接，则，，周长为，当取得最小值时，周长最小，由两点之间线段最短可知，当点共线时，最小，最小值为，由两点之间的距离公式得：，则周长的最小值为．【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质、求二次函数的解析式等知识点，熟练掌握待定系数法和二次函数的性质是解题关键．专训2．（2021··九年级专题练习）如图，已知抛物线y＝－x2＋4x＋m与x轴交于A，B两点，AB＝2，与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）若P为对称轴上一点，要使PA＋PC最小，求点P的坐标．【答案】（1）；（2）P点坐标为（2，－1）【解析】【分析】小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com（1）设点A的坐标为，点B的坐标为，然后根据AB=2及抛物线的对称轴可求解A、B的坐标，进而抛物线解析式可求；（2）连接BC，交直线x＝2于点P，则PA＝PB，则有PA＋PC＝PB＋PC＝BC，所以此时PA＋PC最小，然后求出直线BC的解析式，进而问题可求．【详解】解：（1）设点A的坐标为，点B的坐标为，，∴，把点A的坐标（1，0）代入...