小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com专题21.2根的判别式和根与系数的关系【典例1】设m是不小于﹣1的实数，使得关于x的方程x2+2（m2﹣）x+m23﹣m+3＝0有两个实数根x1，x2．（1）若x12+x22＝2，求m的值；（2）令T¿mx11−x1+mx21−x2，求T的取值范围．【思路点拨】首先根据方程有两个实数根及m是不小于﹣1的实数，确定m的取值范围，根据根与系数的关系，用含m的代数式表示出两根的和、两根的积．（1）变形x12+x22为（x1+x2）22﹣x1x2，代入用含m表示的两根的和、两根的积得方程，解方程根据m的取值范围得到m的值；（2）化简T，用含m的式子表示出T，根据m的取值范围，得到T的取值范围．【解题过程】解： 关于x的方程x2+2（m2﹣）x+m23﹣m+3＝0有两个实数根，∴Δ＝4（m2﹣）24﹣（m23﹣m+3）≥0，解得m≤1， m是不小于﹣1的实数，∴﹣1≤m≤1， 方程x2+2（m2﹣）x+m23﹣m+3＝0的两个实数根为x1，x2，∴x1+x2＝﹣2（m2﹣）＝42﹣m，x1•x2＝m23﹣m+3．（1） x12+x22＝2，∴（x1+x2）22﹣x1x2＝2，∴4（m2﹣）22﹣（m23﹣m+3）＝2，整理得m25﹣m+4＝0，解得m1＝1，m2＝4（舍去），∴m的值为1；小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com（2）T¿mx11−x1+mx21−x2¿mx1(1−x2)+mx2(1−x1)(1−x1)(1−x2)¿m[(x1+x2)−2x1x2]1−(x1+x2)+x1x2¿m(4−2m−2m2+6m−6)1−4+2m+m2−3m+3¿−2m(m−1)2m2−m＝22﹣m． 当m＝0时，方程为x24﹣x+3＝0，解得x＝1或x＝3．此时T没有意义．当m≠0时，﹣1≤m≤1，所以0≤22﹣m≤4．即0≤T≤4且T≠2．1．（2021秋•南海区期末）已知❑√5+12是一元二次方程x2﹣x+m＝0的一个根，则方程的另外一根为（）A．❑√5−12B．3−❑√52C．1−❑√52D．❑√5−322．（2021秋•莲池区期末）关于x的方程mx2+x﹣m+1＝0，有以下三个结论：①当m＝0时，方程只有一个实数解；②当m≠0时，方程有两个不相等的实数解；③无论m取何值，方程都有一个负数解，其中正确的是（）小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.comA．①②B．②③C．①③D．①②③3．（2020•江汉区校级自主招生）对于方程x22|﹣x|+2＝m，如果方程实根的个数为3个，则m的值等于（）A．1B．❑√2C．❑√3D．24．（2021秋•鄞州区校级期末）已知实数α，β满足2α2+5α2﹣＝0，2β25β2﹣﹣＝0，且αβ≠1，且1β2+αβ−52α的值为（）A．254B．−254C．−174D．3345．（2020•江岸区校级自主招生）设三个方程x2+4mx+4m2+2m+3＝0，x2+（2m+1）x+m2＝0，（m1﹣）x2+2mx+m1﹣＝0中，至少有一个方程有实数根，则m的取值范围是（）A．−32＜m＜−14B．m≤−32或m≥12C．m≤−32或m≥−14D．−32＜m≤126．（2021秋•永春县期末）已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）：①若方程的两个根为﹣3和1，则2b+3c＝0；②若a+2c＝0，则方程必有两个不相等的实数根；③无论b＝2a+c或b＝a+2c，方程都有两个不相等的实数根；④若x＝2m方程的一个根，则式子b2+2abm﹣ac＝（2am+b）2一定成立．以上说法正确的个数为（）A．1B．2C．3D．47．（2021秋•郾城区期末）已知关于x的一元二次方程（k+1）x22﹣kx+k2﹣＝0有两个不相等的实数根．（1）求实数k的取值范围；（2）写出满足条件的k的最小整数值，并求此时方程的根．8．（2021秋•盱眙县期末）已知关于x的方程x2﹣（k+2）x+2k＝0．（1）求证：k取任何实数值，方程总有实数根；（2）若等腰△ABC的一边长为4，另两边长m，n恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长．小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com9．（2020•涪城区校级自主招生）关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m21﹣＝0有两个不相等的实数根．（1）求m的取值范围；（2）若m为不大于1的整数，且方程的根为整数，求满足条件的m的值及对应的方程的根．10．（2021秋•鼓楼区期末）已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a、b、c是常数，a≠0）的两个实数根分别为x1，x2，证明：x1+x2¿−ba，x1•x2¿ca．11．（2021秋•绵阳期末）已知关于x的方程（x3﹣）（x2﹣）＝...