小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com专题21.4与几何相关的应用【典例1】如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠C＝∠D＝90°，BC＝16，CD＝12，AD＝21．动点P从点D出发，沿线段DA的方向以每秒2个单位长度的速度运动，动点Q从点C出发，在线段CB上以每秒1个单位长度的速度向点B运动．点P，Q分别从点D，C同时出发，当点P运动到点A时，点Q随之停止运动．设运动时间为t（s），当t为何值时，以B，P，Q三点为顶点的三角形为等腰三角形？【思路点拨】以B，P，Q为顶点的三角形为等腰三角形有三种情况：当PB＝PQ时，当PQ＝BQ时，当BP＝BQ时，由等腰三角形的性质就可以得出结论．【解题过程】解：如图1，当PB＝PQ时，作PE⊥BC于E，∴EQ¿12BQ， CQ＝t，∴BQ＝16﹣t，∴EQ＝8−12t，∴EC＝8−12t+t＝8+12t．小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com∴2t＝8+12t．解得：t¿163．如图2，当PQ＝BQ时，作QE⊥AD于E，∴∠PEQ＝∠DEQ＝90°， ∠C＝∠D＝90°，∴∠C＝∠D＝∠DEQ＝90°，∴四边形DEQC是矩形，∴DE＝QC＝t，∴PE＝t，QE＝CD＝12．在Rt△PEQ中，由勾股定理，得PQ¿❑√t2+144．16﹣t¿❑√t2+144，解得：t¿72；如图3，当BP＝BQ时，作PE⊥BC于E， CQ＝t，∴BP＝BQ＝BC﹣CQ＝16﹣t， PD＝2t，小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com∴CE＝2t，∴BE＝162﹣t，在Rt△BEP中，（162﹣t）2+122＝（16﹣t）2，3t232﹣t+144＝0，△＝（﹣32）24×3×144﹣＝﹣704＜0，故方程无解．综上所述，t¿163或72时，以B，P，Q三点为顶点的三角形为等腰三角形．1．（2021春•长兴县月考）把一个边长为40cm的正方形硬纸板的四周按如图所示的方式剪掉一些长方形，将剩余部分折成一个有盖的长方体盒子，折成的一个长方体盒子的表面积为550cm2，则此时长方体盒子的体积为（）A．750cm3B．1536cm3C．2000cm3D．2304cm3【思路点拨】先设剪掉的长方形盒子的高为xcm，利用折成的一个长方形盒子的表面积为550cm2，列出方程，求出长方形盒子的长、宽、高，再根据长方体的体积公式进行计算即可．【解题过程】解：设剪掉的长方形盒子的高为xcm，根据题意得：2（402﹣x）（20﹣x）+2x（20﹣x）+2x（402﹣x）＝550，整理得：x2+20x525﹣＝0，解得：x1＝15，x2＝﹣35（不合题意，舍去），∴402﹣x＝402×15﹣＝10，20﹣x＝2015﹣＝5．小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com∴长方体盒子的长为10cm，宽为5cm，高为15cm，此时长方体纸盒子的体积为：15×10×5＝750（cm3），∴此时长方体纸盒子的体积为750cm3．故选：A．2．（2021秋•江岸区校级月考）如图，要设计一本书的封面，封面长27cm，宽21cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形，如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，则左右边衬的宽度为（）cm．A．23❑√3B．54−27❑√34C．42−21❑√34D．6+3❑√34【思路点拨】根据中央矩形的长＝封面的长﹣2×上下边衬的宽，中央矩形的宽＝封面的宽﹣2×左右边衬的宽，再根据矩形的面积＝长×宽列式即可；【解题过程】解：设上下边衬的宽均为9xcm，则左右边衬均为7xcm． 一本书的封面长为27cm，宽为21cm，∴中央矩形的长为（2718﹣x）cm，宽为（2114﹣x）cm，中央矩形的面积为（2718﹣x）（2114﹣x）cm2．由题意，得（2718﹣x）（2114﹣x）＝（1−14）×27×21，解得x1¿6−3❑√34，x2¿6+3❑√34（不合题意舍去）．∴上下边衬的宽为：54−27❑√34cm，左右边衬的宽为：42−21❑√34cm．故选：C．3．（2022•随县一模）一个矩形内放入两个边长分别为3cm和4cm的小正方形纸片，按照图①放置，矩形小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分（黑色阴影部分）的面积为8cm2；按照图②放置，矩形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分的面积为11cm2，若把两张正方形纸片按图③放置时，矩形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分的面积为（）A．5cm2B．6cm2C．7...