小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com专题22.6二次函数的最值问题【典例1】在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+a4﹣（a≠0）的对称轴是直线x＝1．（1）求抛物线y＝ax2+bx+a4﹣（a≠0）的顶点坐标；（2）当﹣2≤x≤3时，y的最大值是5，求a的值；（3）在（2）的条件下，当t≤x≤t+1时，y的最大值是m，最小值是n，且m﹣n＝3，求t的值．【思路点拨】（1）利用x¿−b2a求得a和b的关系，再将其代入原解析式即可；（2）分两种情况讨论，利用抛物线的对称性即可求解；（3）分类讨论，利用二次函数的性质求解即可．【解题过程】解：（1）将x＝1代入抛物线y＝ax2+bx+a4﹣得，y＝a+b+a4﹣＝2a+b4﹣， 对称轴是直线x＝1．∴−b2a=¿1，∴b＝﹣2a，∴y＝2a+b4﹣＝2a2﹣a4﹣＝﹣4，∴抛物线y＝ax2+bx+a4﹣（a≠0）的顶点坐标为（1，﹣4）；（2）①a＜0时，抛物线开口向下，y的最大值是﹣4， 当﹣2≤x≤3时，y的最大值是5，∴a＜0不合题意；②a＞0时，抛物线开口向上， 对称轴是直线x＝1.1到﹣2的距离大于1到3的距离，∴x＝﹣2时，y的值最大，∴y＝4a2﹣b+a4﹣＝5a2﹣b4﹣＝5，将b＝﹣2a代入得，a＝1；小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com（3）①t＜0时， a＝1，∴b＝﹣2a＝﹣2，∴y的最大值是m＝t22﹣t+14﹣＝t22﹣t3﹣，最小值是n＝（t+1）22﹣（t+1）﹣3， m﹣n＝3，∴t22﹣t3[﹣﹣（t+1）22﹣（t+1）﹣3]＝3，解得：t＝﹣1；②12≤t＜1时，∴y的最大值是m＝（t+1）22﹣（t+1）﹣3，最小值是n＝﹣4， m﹣n＝3，∴（t+1）22﹣（t+1）﹣3﹣（﹣4）＝3，解得：t＝±❑√3（不成立）；③0＜t≤12时，y的最大值是m＝t22﹣t+14﹣＝t22﹣t3﹣，最小值是n＝﹣4，m﹣n＝t22﹣t3﹣﹣（﹣4）＝3，解得：t＝±❑√3+¿1（不成立）；④t≥1时，∴y的最大值是m＝（t+1）22﹣（t+1）﹣3，最小值是n＝t22﹣t3﹣，m﹣n＝（t+1）22﹣（t+1）﹣3﹣（t22﹣t3﹣）＝3，解得：t＝2；综上，t的值为﹣1或2．1．（2022•碑林区校级三模）已知二次函数y＝﹣x2+bx+c，当x≤0时，函数的最大值为1；当x＞0时，函数的最大值为2，则b+c的值为（）A．3B．1C．﹣3D．﹣1或3【思路点拨】由当x≤0时，函数的最大值为1；当x＞0时，函数的最大值为2，得出抛物线的对称轴在y轴的右侧，由a＝﹣1＜0，得出当x≤0时，y随x的增大而增大，b＞0，进而得出当x＝0时，y＝1，求出c＝1，把抛物线一般式化成顶点式﹣（x−b2）2+b24+¿1，得出b24+¿1＝2，继而得出b＝2，即可得出答案．【解题过程】解： 当x≤0时，函数的最大值为1；当x＞0时，函数的最大值为2，小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com∴抛物线的对称轴在y轴的右侧， a＝﹣1＜0，∴当x≤0时，y随x的增大而增大，b＞0，∴当x＝0时，y＝1，∴c＝1，∴y＝﹣x2+bx+1＝﹣（x−b2）2+b24+¿1，∴，b24+¿1＝2，解得：b＝2或﹣2（不符合题意，舍去），∴b＝2，∴b+c＝2+1＝3，故选：A．2．（2022•三元区模拟）已知非负数a，b，c满足a+b＝3且c3﹣a＝﹣6，设y＝a2+b+c的最大值为m，最小值为n，则m﹣n的值是（）A．16B．15C．9D．7【思路点拨】用a表示出b、c并求出a的取值范围，再代入y整理成关于a的函数形式，然后根据二次函数的增减性求出m、n的值，再相减即可得解．【解题过程】解： a+b＝3，c3﹣a＝﹣6，∴b＝3﹣a，c＝3a6﹣， b，c都是非负数，∴{3−a≥0①3a−6≥0②，解不等式①得，a≤3，解不等式②得，a≥2，∴2≤a≤3，y＝a2+b+c＝a2+（3﹣a）+3a6﹣，＝a2+2a3﹣，小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com∴对称轴为直线a¿−22×1=−1，∴a＝2时，最小值n＝22+2×23﹣＝5，a＝3时，最大值m＝32+2×33﹣＝12，∴m﹣n＝125﹣＝7．故选：D．3．（2022•来安县一模）已知抛物线y＝x2+bx+c过（1，m），（﹣1，3m）两点，若﹣4≤m≤2，且当﹣2≤x≤1时，y的最小值为﹣6，则m的值是（）A．4B．2C．﹣2D．﹣4【思路点拨】将点（1，m），（﹣1，3m）代入抛物线，得出b＝﹣m，c＝2m1﹣，再根据m的取值范围确定出最小值在对...