小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com专题23.1旋转与几何综合【典例1】如图，正方形ABCD和正方形CEFG（其中BD>2CE），直线BG与DE交于点H．(1)如图1，当点G在CD上时，请直接写出线段BG与DE的数量关系和位置关系；(2)将正方形CEFG绕点C旋转一周．①如图2，当点E在直线CD右侧时，求证：BH−DH=❑√2CH；②当∠DEC＝45°时，若AB＝3，CE＝1，请直接写出线段DH的长．【思路点拨】（1）证明△BCG≌△DCE可得结论；（2）①在线段BG上截取BK＝DH，连接CK．证明△BCK≌△DCH(SAS)，推出CK＝CH，∠BCK＝∠DCH，推出△KCH是等腰直角三角形，即可解决问题；②分两种情形：当D，G，E三点共线时∠DEC＝45°，连接BD；和当D，H，E三点共线时∠DEC＝45°，连接BD，分别根据正方形的性质结合勾股定理求解即可解决问题．【解题过程】（1）解：BG＝DE，BG⊥DE，理由如下： 四边形ABCD和四边形CEFG都为正方形，∴BC＝CD，∠BCG＝∠DCE＝90°，CG＝CE，∴△BCG≌△DCE(SAS)，∴BG＝DE，∠CBG＝∠CDE．小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com ∠CDE+∠DEC＝90°，∴∠HBE+∠BEH＝90°，∴∠BHD＝90°，即BG⊥DE．综上可知BG和DE的关系为BG＝DE且BG⊥DE．故答案为：BG＝DE且BG⊥DE；（2）①证明：如图，在线段BG上截取BK＝DH，连接CK． 四边形ABCD和四边形CEFG都为正方形，∴BC＝CD，∠BCD＝∠GCE＝90°，CG＝CE，∴∠BCG＝∠DCE，∴△BCG≌△DCE(SAS)，∴∠CBK＝∠CDH， BK＝DH，BC＝DC，∴△BCK≌△DCH(SAS)，∴CK＝CH，∠BCK＝∠DCH，∴∠BCK+∠KCD＝∠DCH+∠KCD，即∠KCH＝∠BCD＝90°，∴△KCH是等腰直角三角形，∴HK=❑√2CH，∴BH−DH=BH−BK=KH=❑√2CH；②如图，当D，G，E三点共线时∠DEC＝45°，连接BD．小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com由（1）同样的方法可知，BH＝DE， 四边形CEFG为正方形∴CE＝CH＝1，∴EH=❑√2CH=❑√2． AB＝3，∴BD=❑√2AB=3❑√2，设DH＝x，则BH=DE=x+❑√2，在Rt△BDH中，BH2+DH2=BD2，即(x+❑√2)2+x2=(3❑√2)2，解得：x1=❑√34-❑√22，x2=-❑√34-❑√22（舍）故此时DH=❑√34-❑√22；如图，当H，E重合时，∠DEC＝45°，连接BD．设DH＝x， BG＝DH，小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com∴BH=DH−HG=x−❑√2，在Rt△BDH中，BH2+DH2=BD2，即(x−❑√2)2+x2=(3❑√2)2解得：x1=❑√34+❑√22，x2=-❑√34+❑√22（舍）故此时DH=❑√34+❑√22；综上所述，满足条件的DH的值为❑√34-❑√22或❑√34+❑√22．1．（2022·河北唐山·八年级期末）如图1所示，将一个边长为2的正方形ABCD和一个长为2、宽为1的长方形CEFD拼在一起，构成一个大的长方形ABEF．现将小长方形CEFD绕点C顺时针旋转至CE'FD'，旋转角为α．(1)当点D'恰好落在边EF上时，点D'到边DC的距离为____________，旋转角α=¿____________°；(2)如图2，G为BC的中点，且0°<α<90°，求证：GD'=E'D；(3)小长方形CEFD绕点C顺时针旋转一周的过程中，△DCD'与△CBD'能否全等？若能，直接写出旋转角α的值；若不能，说明理由．【思路点拨】（1）根据矩形的性质可知点D'到边DC的距离等于F到边DC的距离，即DF=1，可知点D'到边DC的距离为1；根据旋转的性质得CD'=CD=2，即可判定∠CD'E=30°，然后根据平行线的性质即可得到∠α=∠CD'E=30°；（2）由G为BC中点可得CG=CE，然后根据“SAS”可判断△GCD'≌△E'CD，则GD'=E'D；小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com（3）根据正方形的性质得CB=CD，而CD=CD'，则△BCD'和△DCD'为腰相等的两等腰三角形，当两顶角相等时它们全等，当△BCD'和△DCD'为钝角三角形时，可计算出α=135°，当△BCD'和△DCD'为锐角三角形时，可计算得到α=315°．【解题过程】（1）解：由题意可知，当点D'恰好落在边EF上时，点D'到边DC的距离等于F到边DC的距离，即DF=1，∴点D'到边DC的距离为：1， CE=1，CD'=2，∴在Rt△CED'中，∠CD'E=30°， CD∥EF，∴∠α=∠CD'E=30°，故答案为：1，30...
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