小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com倍长中线模型巩固练习（提优）1.如图，△ABC为等边三角形，BD＝DE，∠BDE＝120º，连接CE，F为CE的中点，连接DF并倍长，连接AD、CG、AG.下列结论：①CG＝DE；②若DE∥BC，则△ABH△∽GBD；③在②的条件下，若CE⊥BC，则.其中正确的有（）A.①②③都正确B.只有①②正确C.只有②③正确D.只有①③正确【解答】A【解析】① 点F是EC的中点，∴CF＝EF，在△CFG和△EFD中，，∴△CFG△≌EFD（SAS），∴CG＝DE，故本选项正确；② DE∥BC，∠BDE＝120º，∴∠GBD＝60º（两直线平行，同旁内角互补）， △ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60º，AB＝AC，∴∠ABD＝∠ABC＋∠GBD＝120º，∠ACG＝180º-∠ACB＝120º，∴∠ABD＝∠ACG又 CG＝DE，DB＝DE，∴BD＝CG，在△ABD与△ACG中，，∴△ABD＝△ACG（SAS），∴AD＝AG，∠BAD＝∠CAG，∴∠DAG＝60º，∴△ADG是等边三角形，∴∠ADG＝60º，∴∠BDG＝∠BDH＋∠ADG＝∠BDH＋60º，小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com又 ∠AHB＝∠BDH＋∠GBD＝∠BDH＋60º，∴∠AHB＝∠GDB（等量代换），∴∠ABH＝∠GBD，∴△ABH△GBD，故本选项正确；③如图所示，过点D作DQ⊥BC于点Q， EC⊥BC，∴D//CE.又 DE∥BC，∴四边形DECQ是矩形，∴CQ＝DE. BD＝DE，DE＝CG，∴CQ＝CG，设，则在Rt△BDQ中，由特殊角的三角函数值求得，在Rt△GQD中，由勾股定理求得，由②知△ADG是等边三角形，则AD＝GD，，即，故本选项正确；综上所述，正确的结论是①②③.2.小明遇到这样一个问题，如图1，△ABC中，AB＝7，AC＝5，点D为BC的中点，求AD的取值范围.小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com小明发现老师讲过的“倍长中线法”可以解决这个问题，所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法，他的做法是：如图2，延长AD到E，使DE＝AD，连接BE，构造△BED≌△CAD，经过推理和计算使问题得到解决请回答：（1）小明证明△BED≌△CAD用到的判定定理是：（用字母表示），（2）AD的取值范围是；（3）小明还发现：倍长中线法最重要的一点就是延长中线一倍，完成全等三角形模型的构造.参考小明思考问题的方法，解决问题：如图3，在正方形ABCD中，E为AB边的中点G、F分别为AD，BC边上的点，若AG＝2，BF＝4，∠GEF＝90º，求GF的长.【解答】（1）SAS；（2）1＜AD＜6；（3）GF＝6【解析】（1）在△BED与△CAD中，，∴△BED≌△CAD（SAS）；（2） △BED＝△CAD，∴BE＝AC＝5， AB＝7，∴2＜AE＜12，∴2＜2AD＜12，∴1＜AD＜6.（3）延长GE交CB的延长线于点M，如图所示： 四边形ABCD是正方形，∴AD∥CM，∴∠AGE＝∠M，在△AEG和△BEM中，，∴△AEG≌△BEM（AAS），∴GE＝EM，AG＝BM＝2， EF⊥MG，∴FG＝FM， BF＝4，∴MF＝BF＋BM＝2＋4＝6，∴GF＝FM＝6.小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com3.如图1，在△ABC中，点D是BC的中点，延长AD到点G，使DG＝AD，连接CG，可以得到△ABD＝△GCD，这种作辅助线的方法我们通常叫做“倍长中线法”如图2，在△ABC中，点D是BC的中点点E是AB上一点，连接ED，小明由图1中作辅助线的方法想到：延长ED到点G，使DG＝ED，连接CG.（1）请直接写出线段BE和CG的关系：；（2）如图3，若∠A＝90º，过点D作DF⊥DE交AC于点F，连接EF，已知BE＝3，，其它条件不变，求EF的长.【解答】（1）BE＝CG；（2）EF＝【解析】（1） 点D是BC的中点，∴BD＝CD，在△EBD和△GCD中，，∴△EBD≌△GCD（SAS），∴BE＝CG；（2）连接GF，如图所示：由（1）知△EBD≌△GCD，∴∠B＝∠GCD，BE＝CG＝3，又 ∠A＝90º，∴∠B＋∠BCA＝90º，∴∠GCD＋∠BCA＝90º，即∠GCF＝90º，小...