小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com矩形存在性问题巩固练习1．如图，▱ABCD中，AB⊥AC，AB＝1，BC¿❑√5．对角线AC、BD相交于点O，将直线AC绕点O顺时针旋转α°，分别交直线BC、AD于点E、F．（1）当α＝90°时，四边形ABEF是平行四边形；（2）在旋转的过程中，四边形BEDF可能是菱形吗？如果能，求出此时α的值；如果不能，说明理由；（3）在旋转过程中，是否存在以A、B、C、D、E、F中的4个点为顶点的四边形是矩形？如果存在，直接写出矩形的名称及对角线的长度；如果不存在，说明理由．【分析】（1）由AB⊥AC得∠BAC＝90°，在Rt△ABC中，根据勾股定理计算出AC＝2，再根据平行四边形的性质得OA＝OC¿12AC＝1，AD∥BC，于是可判断△AOB为等腰直角三角形，则∠AOB＝45°，根据平行四边形的判定当EF∥AB时，四边形ABEF是平行四边形，则EF⊥AC，根据旋转的性质得α＝90°；（2）由于四边形ABCD的对称中心为点O，则OB＝OD，OE＝OF，可判断四边形BEDF为平行四边形，根据菱形的判定，当EF⊥BD时，四边形BEDF为菱形而∠AOB＝45°，根据互余得到∠COE＝45°，所以此时α为45°；（3）根据平行四边形的性质有OA＝OC，OB＝OD，OE＝OF，再根据矩形的判定，当EF＝AC时，四边形AECF为矩形，易得此时矩形AECF的对角线长为2；当EF＝BD时，四边形BEDF为矩形，由△AOB为等腰直角三角形得OB¿❑√2AB¿❑√2，则BD＝2OB＝2❑√2，所以此时矩形BEDF的对角线长为2❑√2．【解答】解：（1） AB⊥AC，∴∠BAC＝90°，在Rt△ABC中，AB＝1，BC¿❑√5，∴AC¿❑√BC2−AB2=¿2，小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com 四边形ABCD为平行四边形，∴OA＝OC¿12AC＝1，AD∥BC，∴△AOB为等腰直角三角形，∴∠AOB＝45°， AF∥BE，∴当EF∥AB时，四边形ABEF是平行四边形，∴EF⊥AC，∴α＝90°；故答案为90°；（2）在旋转的过程中，四边形BEDF可能是菱形．如图1， 四边形ABCD为平行四边形，∴四边形ABCD的对称中心为点O，∴OB＝OD，OE＝OF，∴四边形BEDF为平行四边形，∴当EF⊥BD时，四边形BEDF为菱形， ∠AOB＝45°，∴∠COE＝45°，即此时α为45°；（3）在旋转过程中，存在以A、B、C、D、E、F中的4个点为顶点的四边形是矩形， OA＝OC，OB＝OD，OE＝OF，∴当EF＝AC时，四边形AECF为矩形，如图2，矩形AECF的对角线长为2；小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com当EF＝BD时，四边形BEDF为矩形，如图3， △AOB为等腰直角三角形，∴OB¿❑√2AB¿❑√2，∴BD＝2OB＝2❑√2，∴矩形BEDF的对角线长为2❑√2．【点评】本题考查了四边形的综合题：熟练掌握平行四边形和特殊平行四边形的判定与性质；理解旋转的性质；会运用等腰直角三角形的性质和勾股定理进行几何计算．2．如图1，在平面直角坐标系中，直线y¿−34x+n分别与x轴、y轴交于点A、B，且点A的坐标为（4，0），点C为线段AB的中点．（1）求点B的坐标；（2）点P为直线AB上的一个动点，过点P作x轴的垂线，与直线OC交于点Q，设点P的横坐标为m，△OPQ的面积为S，求S与m的函数解析式；（3）当点P在直线AB上运动时，在平面直角坐标系内是否存在一点N，使得以O，B，P，N为顶点的四边形为矩形，若存在，求出N点的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）用待定系数法即可求解；小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com（2）S¿12PQ•|xP|，即可求解；（3）分OB是矩形的边、OB是矩形的对角线两种情况，分别求解即可．【解答】解：（1）将点A的坐标代入y¿−34x+n并解得：n＝3，故直线的表达式为：y¿−34x+3，令x＝0，则y＝3，故点B（0，3）；（2）点C为线段AB的中点，则由中点公式得，点C（2，32），则直线OC的表达式为：y¿34x，设点P（m，−34m+3），则点Q（m，34m），当点P在...