小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com专题21二次函数与等腰三角形存在问题1．（2021·江苏宿迁·中考真题）如图，抛物线与轴交于A(-1，0)，B(4，0)，与轴交于点C．连接AC，BC，点P在抛物线上运动．(1)求抛物线的表达式；(2)如图①，若点P在第四象限，点Q在PA的延长线上，当∠CAQ=∠CBA45°时，求点P的坐标；(3)如图②，若点P在第一象限，直线AP交BC于点F，过点P作轴的垂线交BC于点H，当△PFH为等腰三角形时，求线段PH的长．【答案】（1）；（2）（6，-7）；（3）PH=或1.5或【分析】（1）根据待定系数法解答即可；（2）求得点C的坐标后先利用勾股定理的逆定理判断∠ACB=90°，继而可得∠ACO=∠CBA，在x轴上取点E（2，0），连接CE，易得△OCE是等腰直角三角形，可得∠OCE=45°，进一步可推出∠ACE=∠CAQ，可得CE∥PQ，然后利用待定系数法分别求出直线CE与PQ的解析式，再与抛物线的解析式联立方程组求解即可；（3）设直线AP交y轴于点G，如图，由题意可得若△PFH为等腰三角形，则△CFG也为等腰三角形，设G（0，m），求出直线AF和直线BC的解析式后，再解方程组求出点F的坐标，然后分三种情况求出m的值，再求出直线AP的解析式，进而可求出点P的坐标，于是问题可求解．【详解】解：（1）把A(-1，0)，B(4，0)代入，得小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com，解得：，∴抛物线的解析式是；（2）令x=0，则y=2，即C（0，2）， ，，AB2=25，∴，∴∠ACB=90°， ∠ACO+∠CAO=∠CBA+∠CAO=90°，∴∠ACO=∠CBA，在x轴上取点E（2，0），连接CE，如图，则CE=OE=2，∴∠OCE=45°，∴∠ACE=∠ACO+45°=∠CBA+45°=∠CAQ，∴CE∥PQ， C（0，2），E（2，0），∴直线CE的解析式为y=-x+2，设直线PQ的解析式为y=-x+n，把点A（-1，0）代入，可得n=-1，∴直线PQ的解析式为y=-x-1，解方程组，得或，∴点P的坐标是（6，-7）；小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com（3）设直线AP交y轴于点G，如图， PH∥y轴，∴∠PHC=∠OCB，∠FPH=∠CGF，∴若△PFH为等腰三角形，则△CFG也为等腰三角形， C（0，2），B（4，0），∴直线BC的解析式为，设G（0，m）， A（-1，0），∴直线AF的解析式为y=mx+m，解方程组，得，∴点F的坐标是，∴，当CG=CF时，，解得：（舍去负值），此时直线AF的解析式为y=x+，小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com解方程组，得或，∴点P的坐标是（，），此时点H的坐标是（，），∴PH=；当FG=FC时，，解得m=或m=（舍）或m=2（舍），此时直线AF的解析式为y=x+，解方程组，得或，∴点P的坐标是（3，2），此时点H的坐标是（3，），∴PH=2-=1.5；当GF=GC时，，解得或m=2（舍去），此时直线AF的解析式为y=x+，解方程组，得或，∴点P的坐标是（，），此时点H的坐标是（，），∴PH=；小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com综上，PH=或1.5或．【点睛】本题是二次函数的综合题，主要考查了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数图象上点的坐标特征、直线与抛物线的交点以及等腰三角形的判定和性质等知识，具有相当的难度，熟练掌握二次函数的图象和性质、灵活应用数形结合的思想是解题的关键．2．（2021·重庆市九年级开学考试）如图，已知抛物线的图象与轴交于，两点，与轴交于点，抛物线的对称轴与轴交于点．点从点出发，以每秒1个单位长度的速度向运动，过作轴的垂线，交抛物线于点，交于．（1）求点和点的坐标；（2）设当点运动了（秒时，四边形的面积为，求与的函数关系式，并指出自变量的取值范围；（3）在线段上是否存在点，使得成为以为一腰的等腰三角形？若存在，求出点的坐标，若不存在，说明...