小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com中点模型巩固练习（提优）1.如图，在矩形ABCD中，E为CB延长线一点且AC＝CE，F为AE的中点，求证：BF⊥FD.【解答】见解析【解析】如图，连接CF. AC＝CE，F为AE的中点，∴CF⊥AE，∴∠AFD＋∠DFC＝90º， 四边形ABCD是矩形，∴BC＝AD，AB⊥CE，∠ABC＝∠BAD＝90º，在Rt△ABE中， F为AE的中点，∴BF＝AF，∴∠FBA＝∠FAB，∴∠FAB＋∠BAD＝∠FBA＋∠ABC，即∠FBC＝∠FAD，又 AD＝BC，FA＝FB，∴△FBC≌△FAD，∴∠AFD＝∠BFC，∴∠BFD＝∠BFC＋∠DFC＝∠AFD＋∠DFC＝90º，∴BF⊥FD.2.如图，在梯形ABCD中，∠B＋∠C＝90º，EF是两底中点的连线，求证：BC－AD＝2EF.【解答】见解析【解析】如图，过点E作EM∥AB交BC于点M，EN∥DC交NC于点N.小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com 四边形ABCD是梯形，∴AD∥BC，∴四边形ABME和四边形DCNE为平行四边形，∴BM＝AE，CN＝DE， E、F分别为AD、BC的中点，∴AE＝ED，BF＝CF，∴FM＝FN， EM∥AB，EN∥DC，∴∠EMN＋∠B，∠ENM＝∠C，又 ∠B＋∠C＝90º，∴∠EMN＋∠ENM＝90º，即∠MEN＝90º，∴EF＝MN，∴EF＝[BC－（BM＋NC）]＝（BC－AD），即BC－AD＝2EF.3.如图，在△ABC中，∠BAC＝90º，AB＝AC，AD＝CD，AF⊥BD于点E交BC于点F，求证：BF＝2FC.【解答】见解析【解析】如图，过点C作CN⊥BD交BD的延长线于点N. AE⊥BD，∴∠AED＝∠N， AD＝CD，∠ADE＝∠CDN，∴△ADE△≌CDN（AAS），∴DE＝DN，小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com AF⊥BD，CN⊥BD，∴AF∥CN，∴， ∠BAC＝90º，AE⊥BD，∴△ABE△∽DBA，∴，即，同理可证，∴， AB＝AC＝2AD，，又 DN＝DE，，∴，∴BF＝2FC.4.如图，在四边形ABCD中，E为AB上的一点，△ADE和△BCE都是等边三角形，AB、BC、CD、DA的中点分别为P、Q、M、N，试判断四边形PQMN的形状.【解答】四边形PQMN为菱形【解析】如图，连接AC、BD. △ADE和△BCE都是等边三角形，∴∠AEC＝120º，∠BED＝120º，∴∠AEC＝∠BED，又 EA＝ED，EC＝EB，∴△AEC≌△DEB，∴AC＝BD，小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com又 P、Q、M、N分别是AB、BC、CD、DA的中点，∴PNBD，QMBD，∴PNQM，∴四边形PQMN是平行四边形，又 PN＝BD，MN＝AC，∴MN＝PN，∴四边形PQMN是菱形.5.如图，P是圆O外的一点，过P点引两条割线PAB、PCD，点M、N分别是、的中点，连接MN分别交AB、CD于点E、F.（1）求证：△PEF是等腰三角形；（2）若点P在圆上或圆内，其他条件不变，结论还能成立吗？【解答】（1）见解析；（2）结论依然成立，理由见解析【解析】（1）如图，证明：连接OM、ON，分别交AB、CD于点G、H. 点M、N分别是、的中点，∴OM⊥AB，ON⊥CD，即∠MGE＝∠NHF＝90º，又 OM＝ON，∴∠M＝∠N，∴∠MEG＝∠NFH， ∠MEG＝∠PEF，∠NFH＝∠PFE，∴∠PEF＝∠PFE，∴PE＝PF，即△PEF是等腰三角形；（2）如图1，当点P在圆上时，连接OM、ON，分别交AB、CD于点G、H. OM＝ON，∴∠OMN＝∠ONM，小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com又 点M、N分别是、的中点，∴∠MGE＝∠NHF＝90º，∴∠MEG＝∠NFH， ∠MEG＝∠PEF，∠NFH＝∠PFE，∴∠PEF＝∠PFE，∴PE＝PF，即△PEF是等腰三角形；如图2，当点P在圆内时，连接OM、ON，分别交AB、CD于点G、H. OM＝ON，∴∠OMN＝∠ONM，又 点M、N分别是、的中点，∴∠MGE＝∠NHF＝90º，∴∠MEG＝∠NFH， ∠MEG＝∠PEF，∠NFH＝∠PFE，∴∠PEF＝∠PFE，∴PE＝PF，即△PEF是等腰三角形；6.半径为1的半圆形纸片，按如图方式沿AB折叠，使折叠后半圆弧的中点M与圆心O重合，...