小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com专题六数列考点15等差数列题组一、选择题1.[2023全国卷乙，5分]已知等差数列{an}的公差为2π3，集合S={cosan∣n∈N∗}，若S={a，b}，则ab=¿(B)A.−1B.−12C.0D.12[解析]由题意得an=a1+2π3(n−1)，cosan+3=cos(a1+2π3(n+2))=cos(a1+2π3n+4π3)=cos(a1+2π3n+2π−2π3)=cos(a1+2π3n−2π3)=co，所以数列{cosan}是以3为周期的周期数列，又cosa2=cos(a1+2π3)=−12cosa1−❑√32sina1，cosa3=cos(a1+4π3)=−12cosa1+❑√32sina1，因为集合S中只有两个元素，所以有三种情况：cosa1=cosa2≠cosa3，cosa1=cosa3≠cosa2，cosa2=cosa3≠cosa1.下面逐一讨论：①当cosa1=cosa2≠cosa3时，有cosa1=−12cosa1−❑√32sina1，得tana1=−❑√3，所以ab=cosa1(−12cosa1+❑√32sina1)=−12cos2a1+❑√32sina1cosa1=−12cos2a1+❑√32sina1cosa1sin2a1+cos2a1=−12+❑√32tatan2a1+.②当cosa1=cosa3≠cosa2时，有cosa1=−12cosa1+❑√32sina1，得tana1=❑√3，所以ab=cosa1(−12cosa1−❑√32sina1)=−12cos2a1−❑√32sina1cosa1=−12cos2a1−❑√32sina1cosa1sin2a1+cos2a1=−12−❑√32tan2a1.小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com③当cosa2=cosa3≠cosa1时，有−12cosa1−❑√32sina1=−12cosa1+❑√32sina1，得sina1=0，所以ab=cosa1(−12cosa1−❑√32sina1)=−12cos2a1=−12(1−sin2a1)=−12.综上，ab=−12，故选B.【速解】取a1=−π3，则cosa1=12，cosa2=cos(a1+2π3)=12，cosa3=cos(a1+4π3)=−1，所以S={12,−1}，ab=−12，故选B.2.[2021北京，4分]已知{an}和{bn}是两个等差数列，且akbk(1≤k≤5)是常值，若a1=288,a5=96,b1=192，则b3的值为(C)A.64B.100C.128D.132[解析]因为{an}和{bn}是两个等差数列,所以2a3=a1+a5=288+96=384，所以a3=192，又当1≤k≤5时，akbk是常值，所以a3b3=a1b1=288192=192b3，从而b3=128.故选C.3.[2020全国卷Ⅱ，5分]北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层.上层中心有一块圆形石板（称为天心石），环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块.下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块.已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板（不含天心石）(C)A.3699块B.3474块C.3402块D.3339块[解析]由题意知，由天心石开始向外的每环的扇面形石板块数构成一个等差数列，记为{an}，设数列{an}的公差为d,前n项和为Sn，易知其首项a1=9，d=9，所以an=a1+(n−1)d=9n.由等差数列的性质知Sn,S2n−Sn,S3n−S2n也成小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com等差数列，所以2(S2n−Sn)=Sn+S3n−S2n，所以(S3n−S2n)−(S2n−Sn)=S2n−2Sn=2n(9+18n)2−2×n(9+9n)2=9n2=729，得n=9，所以三层共有扇面形石板的块数为S3n=3n(9+27n)2=3×9×(9+27×9)2=3402，故选C.【方法技巧】解答本题的突破点：（1）由材料联想到从天心石开始向外的每环的扇面形石板块数构成一个等差数列；（2）利用等差数列前n项和的性质，知Sn，S2n−Sn，S3n−S2n构成一个等差数列.4.[2020浙江，4分]已知等差数列{an}的前n项和为Sn,公差d≠0，且a1d≤1.记b1=S2，bn+1=S2n+2−S2n,n∈N∗,下列等式不可能成立的是(D)A.2a4=a2+a6B.2b4=b2+b6C.a42=a2a8D.b42=b2b8[解析]由bn+1=S2n+2−S2n，得b2=a3+a4=2a1+5d，b4=a7+a8=2a1+13d，b6=a11+a12,b8=a15+a16=2a1+29d.由等差数列的性质易知A成立；若2b4=b2+b6,则2(a7+a8)=a3+a4+a11+a12=2a7+2a8，故B成立；若a42=a2a8,即(a1+3d)2=(a1+d)(a1+7d),则a1=d,故C可能成立；若b42=b2b8,即(2a1+13d)2=(2a1+5d)⋅(2a1+29d)，则a1d=32，与已知矛盾，故D不可能成立.5.[2020北京，4分]在等差数列{an}中，a1=−9,a5=−1.记Tn=a1a2…an(n=1,2,…),则数列{Tn}(B)A.有最大项，有最小项B.有最大项，无最小项C.无最...