小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com专题七不等式考点19不等式的性质与解法、基本不等式题组一、选择题1.[2022全国卷甲，5分]已知a=3132,b=cos14,c=4sin14,则(A)A.c>b>aB.b>a>cC.a>b>cD.a>c>b[解析]因为b=cos14=1−2sin218，所以b−a=1−2sin218−3132=132−2sin218=2(164−sin218).由x>sinx(x>0)，得18>sin18，得164>sin218，所以b>a.因为cb=4sin14cos14=4tan14，由tanx>x(x>0)得tan14>14，即4tan14>1，所以cb>1(b>0)，即c>b.综上c<b>a.2.[2020北京，4分]已知函数f(x)=2x−x−1，则不等式f(x)>0的解集是(D)A.(−1,1)B.(−∞,−1)∪(1,+∞)C.(0,1)D.(−∞,0)∪(1,+∞)[解析]函数f(x)=2x−x−1，则不等式f(x)>0的解集即2x>x+1的解集，在同一平面直角坐标系中画出函数y=2x,y=x+1的图象（图略），结合图象易得2x>x+1的解集为(−∞,0)∪(1,+∞)，故选D.3.[2020浙江，4分]已知a,b∈R且ab≠0，对于任意x≥0均有(x−a)(x−b)(x−2a−b)≥0，则(C)A.a<0B.a>0C.b<0D.b>0[解析]解法一若a,b,2a+b互不相等，则当{a≤0,b≤0,2a+b≤0)时，原不等式在x≥0时恒成立，又因为ab≠0，所以a<0，b<0；若a=b，则当{a≤0,a=b,2a+b≤0)时，原不等式在x≥0时恒成立，又因为ab≠0，所以a<0,b<0；小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com若a=2a+b，则当{a≥0,a=2a+b,b≤0)时，原不等式在x≥0时恒成立，又因为ab≠0，所以a>0,b<0；若b=2a+b,则a=0，与已知矛盾；若a=b=2a+b,则a=b=0，与已知矛盾.综上，b<0，故选C.解法二特殊值法：当b=−1,a=1时，(x−1)⋅(x+1)(x−1)≥0在x≥0时恒成立；当b=−1,a=−1时，(x+1)(x+1)(x+3)≥0在x≥0时恒成立;当b=1，a=−1时，(x+1)(x−1)(x+1)≥0在x≥0时不一定成立.故选C.4.[2019天津，5分]已知a∈R.设函数f(x)={x2−2ax+2a,x≤1,x−alnx,x>1.)若关于x的不等式f(x)≥0在R上恒成立，则a的取值范围为(C)A.[0,1]B.[0,2]C.[0,e]D.[1,e][解析]解法一当a=0时,不等式f(x)≥0恒成立,排除D;当a=e时,f(x)={x2−2ex+2e,x≤1,x−elnx,x>1,)当x≤1时,f(x)=x2−2ex+2e的最小值为f(1)=1>0,满足f(x)≥0;当x>1时,由f(x)=x−elnx可得f′(x)=1−ex=x−ex,易得f(x)在x=e处取得极小值（也是最小值）f(e)=0,满足f(x)≥0恒成立,排除A,B.故选C.解法二若x≤1,f(x)=x2−2ax+2a=(x−a)2−a2+2a,当a≤1时,可得f(x)的最小值为f(a)=−a2+2a，令f(a)≥0,解得0≤a≤2,故0≤a≤1;当a>1时,可得f(x)的最小值为f(1)=1≥0,满足条件.所以a≥0.若x>1,由f(x)=x−alnx可得f′(x)=1−ax=x−ax,当a≤1时,f′(x)>0,则f(x)单调递增,故只需f(1)≥0,显然成立;当a>1时,由f′(x)=0可得x=a,易得f(x)的最小值为f(a)=a−alna，令f(a)≥0,解得a≤e,故1<a≤e,所以a≤e.综上,a的取值范围是[0,e].二、填空题5.[2021上海春季，4分]不等式2x+5x−2<1的解集为(−7,2).小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com[解析]2x+5x−2<1，即2x+5x−2−1<0，即x+7x−2<0，（易错警示：解分式不等式时，注意等价变形）解得−7<x<2，因此不等式的解集为(−7,2).6.[2021上海春季，5分]已知函数f(x)=3x+a3x+1(a>0)的最小值为5，则a=¿9.[解析]f(x)=3x+a3x+1=3x+1+a3x+1−1≥2❑√a−1=5，当且仅当3x+1=a3x+1时等号成立，∴a=9，经检验，当且仅当3x=2时等号成立.（易错警示：注意检验等号是否能取到）7.[2020天津，5分]已知a>0，b>0，且ab=1，则12a+12b+8a+b的最小值为4.[解析]依题意得12a+12b+8a+b=a+b2ab+8a+b=a+b2+8a+b≥2❑√a+b2×8a+b=4，当且仅当{a>0,b>0,ab=1,a+b2=8a+b,)即{ab=1,a+b=4)时取等号.因此12a+12b+8a+b的最小值为4.8.[2020江苏，5分]已知5x2y2+y4=1(x,y∈R)，则x2+y2的最小值是45.[解析]解法一由5x2y2+y4=1得x2=15y2−y25，则x2+y2=15y2+4y25≥2❑√15y2⋅4y25=45，当且仅当15y2=4y25,即y2=12时取等号，则x2+y2的最小值是45.解法二4=(5x2+y2)⋅4y2≤[(5x2+y2)+4y22]2=254(x2+...