小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com第四课时证明及探索性问题题型一证明问题例1已知抛物线C：x2＝－2py(p>0)经过点(2，－1).(1)求抛物线C的方程及其准线方程.(2)设O为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M，N，直线y＝－1分别交直线OM，ON于点A和点B.求证：以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点.(1)解由抛物线C：x2＝－2py经过点(2，－1)得p＝2.所以抛物线C的方程为x2＝－4y，其准线方程为y＝1.(2)证明抛物线C的焦点为F(0，－1).设直线l的方程为y＝kx－1(k≠0).由得x2＋4kx－4＝0.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1x2＝－4.直线OM的方程为y＝x.令y＝－1，得点A的横坐标xA＝－，同理得B的横坐标xB＝－.设点D(0，n)，则DA＝，DB＝，DA·DB＝＋(n＋1)2＝＋(n＋1)2＝＋(n＋1)2＝－4＋(n＋1)2.令DA·DB＝0，即－4＋(n＋1)2＝0，得n＝1或n＝－3.综上，以AB为直径的圆经过y轴上的定点(0，1)和(0，－3).感悟提升圆锥曲线中的证明问题常见的有：(1)位置关系方面的：如证明直线与曲线相切，直线间的平行、垂直，直线过定点等.(2)数量关系方面的：如存在定值、恒成立、相等等.小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com在熟悉圆锥曲线的定义与性质的前提下，一般采用直接法，通过相关的代数运算证明，但有时也会用反证法证明.训练1(2021·合肥模拟)如图，圆C与x轴相切于点T(2，0)，与y轴正半轴相交于两点M，N(点M在点N的下方)，且|MN|＝3.(1)求圆C的方程；(2)过点M任作一条直线与椭圆＋＝1相交于两点A，B，连接AN，BN，求证：∠ANM＝∠BNM.(1)解设圆C的半径为r(r>0)，依题意知，圆心C的坐标为(2，r).因为|MN|＝3，所以r2＝＋22＝，所以r＝，圆C的方程为(x－2)2＋＝.(2)证明把x＝0代入方程(x－2)2＋＝，解得y＝1或y＝4，即点M(0，1)，N(0，4).①当AB⊥x轴时，可知∠ANM＝∠BNM＝0.②当AB与x轴不垂直时，可设直线AB的方程为y＝kx＋1.联立方程消去y得，(1＋2k2)x2＋4kx－6＝0.Δ＝16k2＋24(1＋2k2)＞0恒成立.设直线AB交椭圆于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则x1＋x2＝，x1x2＝，所以kAN＋kBN＝＋＝＋＝＝＝0，所以∠ANM＝∠BNM.综合①②知∠ANM＝∠BNM.题型二探索性问题例2(2022·石家庄模拟)设中心在原点，焦点在x轴上的椭圆E过点，且离心率为，F为E的右焦点，P为E上一点，PF⊥x轴，圆F的半径为PF.(1)求椭圆E和圆F的方程；(2)若直线l：y＝k(x－)(k＞0)与圆F交于A，B两点，与椭圆E交于C，D两点，其中A，C在第一象限，是否存在k使|AC|＝|BD|？若存在，求l的方程；若不存在，说明理由.小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com解(1)由题意可设椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)， 椭圆的离心率e＝，∴＝， a2＝b2＋c2，∴a＝2b，将点代入椭圆的方程得＋＝1，联立a＝2b，解得a＝2且b＝1.∴椭圆E的方程为＋y2＝1.∴F(，0)， PF⊥x轴，∴P，∴圆F的半径为，圆心为(，0)，∴圆F的方程为(x－)2＋y2＝.(2)不存在满足题意的k，理由如下：由A，B在圆上得|AF|＝|BF|＝|PF|＝.设点C(x1，y1)，D(x2，y2).|CF|＝＝2－x1，同理|DF|＝2－x2.若|AC|＝|BD|，则|AC|＋|BC|＝|BD|＋|BC|，即|AB|＝|CD|＝1，4－(x1＋x2)＝1，由得(4k2＋1)x2－8k2x＋12k2－4＝0，∴x1＋x2＝，∴4－＝1，得12k2＝12k2＋3，无解，故不存在.感悟提升此类问题一般分为探究条件、探究结论两种.若探究条件，则可先假设条件成立，再验证结论是否成立，成立则存在，否则不存在；若探究结论，则应先求出结论的表达式，再针对其表达式进行讨论，往往涉及对参数的讨论.训练2椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，右顶点为A，上顶点为B，且满足向量BF1·BF2＝0.(1)若A(2，0)，求椭圆的标准方程.小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com(2)设P为椭圆上异于...