小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳等免费下载www.doc985.com有关切线的辅助线作法一切线的性质(教材P101习题24.2第5题)如图1，以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB是小圆的切线，点P为切点，求证：AP＝BP.证明：连接OP. AB是小圆的切线，∴OP⊥AB.在大圆中由垂径定理得AP＝BP.图1图2【思想方法】圆的切线垂直于过切点的半径，所以作过切点的半径得到垂直关系是常用的辅助线作法．如图2，两个同心圆的半径分别为4cm和5cm，大圆的一条弦AB与小圆相切，则弦AB的长为(C)A．3cmB．4cmC．6cmD．8cm如图3，已知点O为Rt△ABC斜边AC上一点，以点O为圆心，OA长为半径的⊙O与BC相切于点E，与AC相交于点D，连接AE.(1)求证：AE平分∠CAB；(2)探求图中∠1与∠C的数量关系，并求当AE＝EC时∠C的值．图3变形2答图解：(1)证明：如图，连接OE， BC是⊙O的切线，且切点为E，∴OE⊥BC，∴∠OEC＝90°.又 △ABC是直角三角形，∴∠B＝90°，∴∠OEC＝∠B，∴OE∥AB，∴∠BAE＝∠OEA. OA＝OE，∴∠1＝∠OEA，∴∠BAE＝∠1，∴AE平分∠CAB.(2) △ABC是直角三角形，∴∠BAC＋∠C＝90°. AE平分∠CAB，∴∠BAC＝21∠，∴2∠1＋∠C＝90°，即∠1＝(90°－∠C)．当AE＝EC时，∠1＝∠C，则2∠C＋∠C＝90°，∴∠C＝30°.小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳等免费下载www.doc985.com图4如图4，AB是⊙O的直径，D为⊙O上一点，AT平分∠BAD交⊙O于点T，过点T作AD的延长线于点C.(1)求证：CT为⊙O的切线；(2)若⊙O半径为2，CT＝，求AD的长．解：(1)证明：连接OT OA＝OT，∴∠OAT＝∠OTA又 AT平分∠BAD，∴∠DAT＝∠OAT∴∠DAT＝∠OTA，∴OT∥AC又 CT⊥AT，∴CT⊥OT∴CT为⊙O的切线．(2)解：过O作OE⊥AD于E，则E为AD中点又 CT⊥AC，∴OE∥CT∴四边形OTCE为矩形 CT＝，∴OE＝又 OA＝2∴在Rt△OAE中，AE＝＝＝1∴AD＝2AE＝2.二切线的判定(教材P101习题24.2第4题)如图5，直线AB经过⊙O上的点C，并且OA＝OB，CA＝CB.求证：直线AB是⊙O的切线．证明：连接OC. OA＝OB，CA＝CB，∴△OAB是等腰三角形，OC是底边AB上的中线．∴OC⊥AB.∴AB是⊙O的切线．图5小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳等免费下载www.doc985.com【思想方法】证明某直线为圆的切线时，(1)如果该直线与已知圆有公共点，即可作出经过该点的半径，证明直线垂直于该半径，即“连半径，证垂直”；(2)如果不能确定该直线与已知圆有公共点，则过圆心作直线的垂线，证明圆心到直线的距离等于半径，即“作垂直证半径”．注意：在证明垂直时，常用到直径所对的圆周角是直角．如图6，四边形ABCD是平行四边形，以AB为直径的圆O经过点D，E是⊙O上一点，且∠AED＝45°.判断CD与⊙O的位置关系，并说明理由．图6解：CD与⊙O相切．理由如下：连接DO， ∠AED＝45°，∴∠AOD＝90°. 四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠CDO＝∠AOD＝90°.又 OD是⊙O的半径，CD经过点D，∴CD是⊙O的切线．[2012·温州]如图7，△ABC中，∠ACB＝90°，D是边AB上的一点，且∠A＝2∠DCB.E是BC上的一点，以EC为直径的⊙O经过点D.(1)求证：AB是⊙O的切线；(2)若CD的弦心距为1，BE＝EO，求BD的长．图7变形2答图解：(1)证明：如图，连接OD， ∠DOB＝2∠DCB，又 ∠A＝2∠DCB，∴∠A＝∠DOB.又 ∠A＋∠B＝90°，∴∠DOB＋∠B＝90°，∴∠BDO＝90°，∴OD⊥AB，∴AB是⊙O的切线．(2)解法一：如图，过点O作OM⊥CD于点M， OD＝OE＝BE＝BO，∠BDO＝90°，∴∠B＝30°，∴∠DOB＝60°，∴∠DCB＝30°，∴OC＝2OM＝2，∴OD＝2，BO＝4，∴BD＝2.解法二：如图，过点O作OM⊥CD于点M，连接DE， OM⊥CD，∴CM＝DM.又 OC＝OE，∴DE＝2OM＝2.小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳等免费下载www.doc985.com Rt△BDO中，OE＝BE，∴DE＝BO，∴BO＝4，∴OD＝OE＝2，∴BD＝2.图8如图8，已知⊙O的半径为1，DE是⊙O的直径，过D作⊙O的切线，C是AD的中点，AE交⊙O于B点，四边形BCOE是平行四边形．(1)求AD的长；(2)BC是⊙O的切线吗？若是，给出证明；若不是，说明理由．解：(1)连接BD，则∠DBE＝90°. 四边形BCOE是平行四边形，∴BC∥OE，BC＝OE＝1.在Rt△ABD中，C为AD的中点，∴BC＝AD...