第1页共37页1.(2019，山东青岛中考）（12分）已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠ACB＝90°，AB＝10cm，BC＝8cm，OD垂直平分AC.点P从点B出发，沿BA方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，点Q从点D出发，沿DC方向匀速运动，速度为1cm/s；当一个点停止运动，另一个点也停止运动.过点P作PE⊥AB，交BC于点E，过点Q作QF∥AC，分别交AD，OD于点F，G.连接OP，EG.设运动时间为t（s）（0＜t＜5），解答下列问题：（1）当t为何值时，点E在∠BAC的平分线上？（2）设四边形PEGO的面积为S（cm2），求S与t的函数关系式；（3）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使四边形PEGO的面积最大？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；（4）连接OE，OQ，在运动过程中，是否存在某一时刻t，使OE⊥OQ？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由中考数学复习——压轴题专项训练（二次函数与几何模型综合）.【解析】解：（1）在Rt△ABC中， ∠ACB＝90°，AB＝10cm，BC＝8cm，∴AC＝＝6（cm）， OD垂直平分线段AC，∴OC＝OA＝3（cm），∠DOC＝90°， CD∥AB，∴∠BAC＝∠DCO， ∠DOC＝∠ACB，∴△DOC∽△BCA，∴＝＝，∴＝＝，∴CD＝5（cm），OD＝4（cm）， PB＝t，PE⊥AB，易知：PE＝t，BE＝t，当点E在∠BAC的平分线上时， EP⊥AB，EC⊥AC，∴PE＝EC，∴t＝8﹣t，∴t＝4.第3页共37页∴当t为4秒时，点E在∠BAC的平分线上.（2）如图，连接OE，PC.S四边形OPEG＝S△OEG+S△OPE＝S△OEG+（S△OPC+S△PCE﹣S△OEC）＝•（4﹣t）•3+[•3•（8﹣t）+•（8﹣t）•t﹣•3•（8﹣t）＝﹣t2+t+16（0＜t＜5）.（3）存在. S＝﹣（t﹣）2+（0＜t＜5），∴t＝时，四边形OPEG的面积最大，最大值为.（4）存在.如图，连接OQ. OE⊥OQ，∴∠EOC+∠QOC＝90°， ∠QOC+∠QOG＝90°，∴∠EOC＝∠QOG，∴tan∠EOC＝tan∠QOG，∴＝，∴＝，整理得：5t2﹣66t+160＝0，解得t＝或10（舍弃）∴当t＝秒时，OE⊥OQ.2.（2019，河北中考）如图，若b是正数，直线l：y=b与y轴交于点A；直线a：y=x﹣b与y轴交于点B；抛物线L：y=﹣x2+bx的顶点为C，且L与x轴右交点为D．（1）若AB=8，求b的值，并求此时L的对称轴与a的交点坐标；（2）当点C在l下方时，求点C与l距离的最大值；（3）设x0≠0，点（x0，y1），（x0，y2），（x0，y3）分别在l，a和L上，且y3是y1，y2的平均数，求点（x0，0）与点D间的距离；（4）在L和a所围成的封闭图形的边界上，把横、纵坐标都是整数的点称为“美点”，分别直接写出b=2019和b=2019.5时“美点”的个数．【解析】（1）当x=0吋，y=x﹣b=﹣b，∴B（0，﹣b）． AB=8，而A（0，b），∴b﹣（﹣b）=8，∴b=4，∴L：y=﹣x2+4x，∴L的对称轴x=2，当x=2时，y=x﹣4=﹣2，∴L的对称轴与a的交点为（2，﹣2）；（2）y=﹣（x2b）224b，∴L的顶点C（2b，24b）． 点C在l下方，∴C与l的距离b2144b（b﹣2）2+1≤1，∴点C与l距离的最大值为1；（3） y3是y1，y2的平均数，∴y1+y2=2y3，∴b+x0﹣b=2（﹣x02+bx0），解得：x0=0或x0=b12． x0≠0，∴x0=b12，对于L，当y=0吋，0=﹣x2+bx，即0=﹣x（x﹣b），解得：x1=0，x2=b． b＞0，∴右交点D（b，0），∴点（x0，0）与点D间的距离b﹣（b12）12．（4）①当b=2019时，抛物线解析式L：y=﹣x2+2019x，直线解析式a：y=x﹣2019．联立上述两个解析式可得：x1=﹣1，x2=2019，∴可知每一个整数x的值都对应的一个整数y值，且﹣1和2019之间（包括﹣1和﹣2019）共有2021个整数； 另外要知道所围成的封闭图形边界分两部分：线段和抛物线，∴线段和抛物线上各有2021个整数点，∴总计4042个点． 这两段图象交点有2个点重复，∴美点”的个数：4042﹣2=4040（个）；②当b=2019.5时，抛物线解析式L：y=﹣x2+2019.5x，直线解析式a：y=x﹣2019.5，联立上述两个解析式可得：x1=﹣1，x2=2019.5，∴当x取整数时，在一次函数y=x﹣2019.5上，y取不到整数值，因此在该图象上“美点”为0，在二次函数y=x2+2019.5x图象上，当x为偶数时，函数值y可取整数，可知﹣1到2019.5之间有1010个偶数，因此“美点”共有1010个．故b=2019时“美点”的个数为4040个，b=2019.5时“美点”的个数为1010个．...