小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com专题3函数与直角三角形综合问题【例1】综合与探究抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，直线l经过B，C两点，点P为抛物线上一个动点（不与B，C重合）．（1）求A，B，C三点的坐标及直线l的表达式；（2）如图1，当点P在直线l上方的抛物线上时，过P点作PE∥x轴交直线l于点E，设点P的横坐标为m．①求线段PE的长（用含m的代数式表示）；②请求出线段PE的最大值；（3）如图2，点Q为抛物线对称轴上一点，是否存在点Q，使以点B，C，Q为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）分别令x＝0，y＝0，求出点A、B、C的坐标，然后用待定系数法求直线l的解析式；（2）①用含m的式子表示点P的纵坐标，再将P的纵坐标代入直线l的解析式中求出点E的横坐标，最后即可得到EP的长；②利用二次函数的顶点式求出EP的最大值；（3）设点Q（1，a），然后分类讨论利用勾股定理列出关于a的方程求解．【解答】解：（1）当x＝0时，y＝2，∴C（0，2），当y＝0时，﹣x2+x+2＝0，解得：x＝﹣1或x＝3， 点A在点B的左侧，∴A（﹣1，0），B（3，0），小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com设直线l的表达式为y＝kx+b，将点B（3，0），C（0，2）代入得：，解得：，∴直线l的表达式为y＝﹣x+2；（2）①设P（m，﹣m2+m+2）， PE∥x轴，∴点E和点P的纵坐标相同，又 点E在直线l上，∴﹣m2+m+2＝﹣x+2，∴x＝m22﹣m，∴EP＝m﹣（m22﹣m）＝﹣m2+3m；②EP＝﹣m2+3m＝﹣（m﹣）2+，1 ﹣＜0，∴m＝时，线段PE的最大值是；（3）存在，理由如下， x＝﹣＝1，∴抛物线的对称轴为直线x＝1，设Q（1，a）， B（3，0），C（0，2），①当∠QCB＝90°时，CQ2+CB2＝BQ2，1∴2+（a2﹣）2+32+22＝（31﹣）2+a2，解得：a＝，∴Q1（1，），②当∠QBC＝90°时，BQ2+CB2＝CQ2，小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com∴（31﹣）2+a2+32+22＝12+（a2﹣）2，解得：a＝﹣3，∴Q2（1，﹣3），③当∠CQB＝90°时，BQ2+CQ2＝CB2，∴（31﹣）2+a2+12+（a2﹣）2＝32+22，解得：a＝1+或a＝1﹣，∴Q3（1，1+），Q4（1，1﹣），综上所述：点Q的坐标是（1，）或（1，﹣3）或（1，1+）或（1，1﹣）．【例2】已知抛物线y＝x2﹣（2m1﹣）x+4m6﹣．（1）试说明：不论m取任何实数，该抛物线都经过x轴上的定点A．（2）设该抛物线与x轴的另一个交点为B（A与B不重合），顶点为C，当△ABC为直角三角形时，求m的值．（3）在（2）的条件下，若点B在A的右侧，点D（0，3），点E是抛物线上的一点．问：在x轴上是否存在一点F，使得以D，E，F为顶点的三角形是等腰直角三角形，且∠EDF＝90°，若存在，求F点的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）当x＝2时，得出y的值为固定值，即可说明抛物线过定点A；（2）由抛物线的性质知只有∠ACB有可能是直角，根据题意列出关于m的方程，求出m即可；（3）先确定抛物线的解析式，然后设出点E的坐标和点F的坐标，根据等腰直角三角形的性质及∠EDF＝90°列出关于点F的坐标的关系式，即可求出F的坐标．【解答】解：（1）取x＝2，则y＝22﹣（2m1﹣）×2+4m6﹣＝0，∴抛物线过x轴上定点A（2，0）；（2） 当y＝x2﹣（2m1﹣）x+4m6﹣＝（x2﹣）（x2﹣m+3）＝0时，有x＝2或x＝2m3﹣，∴点B（2m3﹣，0），∴抛物线的对称轴为x＝m﹣，当x＝m﹣时，y＝（﹣2）（﹣2m+3）＝﹣＝，∴C（m﹣，）， △ABC为直角三角形，∴∠ACB＝90°，又 AC＝BC，小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com|2∴m32|﹣﹣＝2，解得m＝或m＝或m＝当m＝时，A与B重合，∴m＝舍去，∴m＝，∴m＝或m＝；（3） 点B在A的右侧，2∴m3﹣＞2，解得m，∴m＝，∴抛物线的解析式为y＝x26﹣x+8，设E（x，x26﹣x+8），F（n，0）（n＜0），又 以D，E，F为顶点的三角形是等腰直角三角形，且∠EDF＝90°，如图，过点D作HK平行x轴，HF⊥x轴于点F，KE⊥x轴， ∠FDE＝90°，∴∠FDH+∠KDE＝90°，又 ∠FDH+∠HFD＝90°...