小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com专题九几何证明之圆中的三角形全等问题1、已知，如图1，AB为⊙O直径，△ACD内接于⊙O，∠D+∠ACE＝90°，点E在线段AD上，连接CE．（1）若CE⊥AD，求证：CA＝CD；（2）如图2，连接BD，若AE＝DE，求证：BD平行CE；（3）如图，在（2）的条件下，过点C作AB的垂线交AB于点K，交AD于点L，4AK＝9BK，若OL＝，求BD的值．解：（1） CE⊥AD，∴∠D+∠ECD＝90°，∠AEC＝∠DEC＝90°， ∠D+∠ACE＝90°，∴∠ACE＝∠DCE，在△ACE和△DCE中，，小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com∴△ACE≌△DCE（ASA），∴CA＝CD；（2） AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，即∠ADC+∠BDC＝90°， ∠ADC+∠ACE＝90°，∴∠BDC＝∠ACE， ∠BDC＝∠BAC，∴∠BAC＝∠ACE，设AB与CE的交点为M，则MA＝MC，∴M在AC的垂直平分线上， 弦的垂直平分线过圆心O，即弦的垂直平分线与直径的交点是圆心，∴M与点O重合，即CE过圆心O， AE＝DE，∴CE⊥AD，∴∠AEC＝∠ADB＝90°，∴CE∥BD；（3） 4AK＝9BK，小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com∴AK：BK＝9：4，设BK＝4m，则AK＝9m，∴AB＝13m，∴OA＝OB＝6.5m，∴OK＝OB﹣BK＝2.5m， AK⊥CL，∴∠AKC＝90°＝∠AEO，在△OAE和△OCK中，，∴△OAE≌△OCK（AAS），∴OE＝OK＝2.5m， OA＝OB，AE＝DE，∴BD＝2OE＝5m，∴AD＝， ∠AKL＝∠ADB＝90°，∠LAK＝∠BAD，∴△AKL∽△ADB，∴，即，小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com∴LK＝， OK2+LK2＝OL2，∴，解得，m＝0.8，∴BD＝5m＝4．2、已知，AB为⊙O的直径，弦BC、AF相交于点E，过点E作ED⊥AB，∠AEC＝∠BED．（1）如图1，求证：＝；（2）如图2，当∠BAF＝45°时，OC交AF于点H，作FG⊥BH于点Q，交AB于点G，连接GH，求证：∠AGH＝∠BGF；（3）如图3，在（2）的条件下，射线BG与⊙O交于点P，过点P作PK⊥BH交AB于点M，垂足为点K，点N为B的中点，MN＝，求⊙O的半径．（1）证明：如图1，连接AC、BF、CF，小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com AB为⊙O的直径，∴∠AFB＝90°， ∠AEC＝∠BED，∠AEC＝∠BEF，∴∠BEF＝∠BED， ED⊥AB，∴∠BDE＝∠AFB＝90°，又 BE＝BE，∴△BDE≌△BFE（AAS），∴∠ABC＝∠FBC， ，∴∠ABC＝∠AFC， ，∴∠CAF＝∠FBC，∴∠CAF＝∠AFC，∴AC＝CF，∴；（2）证明：如图2，连接OF、BF，作AS⊥AF于点A，交FG的延长线于点S，小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com ，∴AOC＝∠FOC， AO＝OF，∴OC⊥AF，∴AH＝HF＝AF， ∠BAF＝45°，∴AF＝BF， FG⊥BH，AS⊥AF，∴∠S＝∠BHF，又 ∠SAF＝∠HFB＝90°，∴△FSA≌△BHF（AAS），∴AS＝HF＝AH， ∠SAG＝∠GAH＝45°，AG＝AG，∴△SAG≌△HAG（SAS），∴∠SGA＝∠AGH，∴∠AGH＝∠BGF；（3）解：如图3，过点O作OR⊥HP于点R，OT⊥BH于点T， △SAG≌△HAG，小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com∴∠AHG＝∠S＝∠BHF， OH⊥AF，∴∠OHG＝∠OHB， ∠ORH＝∠OTH＝90°，OH＝OH，∴△ORH≌△OTH（AAS），∴RH＝TH，OR＝OT，又 OP＝OB，∠ORP＝∠OTB＝90°，Rt∴△ORPRt≌△OTB（HL），∴PR＝BT，∴PR+RH＝BT+TH，即PH＝BH，∴∠HPB＝∠HBP，设∠OPR＝∠OBT＝α， ∠AOH＝∠A＝45°，∴∠PHO＝∠BHO＝∠AOH﹣∠OBH＝45°α﹣，∴∠PHB＝90°2α﹣，∴∠HPB＝∠HBP＝45°+α，∴∠PBO＝45°， PO＝BO，∴∠OPB＝∠OBP＝45°，小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com∴PO⊥AB， PK⊥BH，GF⊥BH，∴PK∥GF，∴∠PMG＝∠BGF， ∠PGM＝∠AGH，∴∠PGM＝∠PMG，∴PG＝PM，∴OG＝OM，过点M作ML⊥BP于点L， ∠PBH＝∠BHF＝45°+α，tan∴∠PBH＝tan∠BHF＝＝2， ∠MPL＝∠BPK，∴∠PML＝∠PBH，tan∴∠PML＝tan∠PBH＝2，设BM＝4a，则BL＝ML＝2a，∴PL＝4a，∴PB＝6a，∴PO＝BO＝6a，小学、初中、...