小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com初中数学几何模型11：阿氏圆最值模型名师点睛拨开云雾开门见山在前面的“胡不归”问题中，我们见识了“kPA+PB”最值问题，其中P点轨迹是直线，而当P点轨迹变为圆时，即通常我们所说的“阿氏圆”问题．【模型来源】“阿氏圆”又称为“阿波罗尼斯圆”，如下图，已知A、B两点，点P满足PA：PB=k（k≠1），则满足条件的所有的点P的轨迹构成的图形为圆．这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”.【模型建立】如图1所示，⊙O的半径为R，点A、B都在⊙O外，P为⊙O上一动点，已知R=OB，连接PA、PB，则当“PA+PB”的值最小时，P点的位置如何确定？ABPO小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com解决办法：如图2，在线段OB上截取OC使OC=R，则可说明△BPO与△PCO相似，则有PB=PC。故本题求“PA+PB”的最小值可以转化为“PA+PC”的最小值，其中与A与C为定点，P为动点，故当A、P、C三点共线时，“PA+PC”值最小。【技巧总结】计算的最小值时，利用两边成比例且夹角相等构造母子型相似三角形问题：在圆上找一点P使得的值最小，解决步骤具体如下：1.如图，将系数不为1的线段两端点与圆心相连即OP，OB2.计算出这两条线段的长度比3.在OB上取一点C，使得，即构造△POMBOP△∽，则，4.则，当A、P、C三点共线时可得最小值典题探究启迪思维探究重点例题1.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，以点C为圆心，2为半径作圆C，分别交AC、小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.comBC于D、E两点，点P是圆C上一个动点，则的最小值为__________．【分析】这个问题最大的难点在于转化，此处P点轨迹是圆，注意到圆C半径为2，CA=4，连接CP，构造包含线段AP的△CPA，在CA边上取点M使得CM=2，连接PM，可得△CPA∽△CMP，故PA：PM=2:1，即PM=．问题转化为PM+PB≥BM最小值，故当B，P，M三点共线时得最小值，直接连BM即可得．变式练习>>>1．如图1，在RTABC△中，∠ACB=90°，CB=4，CA=6，圆C的半径为2，点P为圆上一动点，连接AP,BP，求①，②，③，④的最小值.[答案]：①=，②=2，③=，④=.EABCDPMPDCBA小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com例题2.如图，点C坐标为(2,5)，点A的坐标为(7,0)，⊙C的半径为,点B在⊙C上一动点，的最小值为________.[答案]：5.变式练习>>>2．如图，在平面直角坐标系xoy中，A(6,-1)，M(4,4)，以M为圆心，为半径画圆，O为原点，P是⊙M上一动点，则PO+2PA的最小值为________.小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com[答案]：10.例题3.如图，半圆的半径为1，AB为直径，AC、BD为切线，AC＝1，BD＝2，P为上一动点，求PC+PD的最小值．【解答】解：如图当A、P、D共线时，PC+PD最小．理由：连接PB、CO，AD与CO交于点M， AB＝BD＝4，BD是切线，∴∠ABD＝90°，∠BAD＝∠D＝45°， AB是直径，∴∠APB＝90°，∴∠PAB＝∠PBA＝45°，∴PA＝PB，PO⊥AB， AC＝PO＝2，AC∥PO，∴四边形AOPC是平行四边形，∴OA＝OP，∠AOP＝90°，∴四边形AOPC是正方形，∴PM＝PC，∴PC+PD＝PM+PD＝DM， DM⊥CO，∴此时PC+DP最小＝AD﹣AM＝2﹣＝．变式练习>>>3．如图，四边形ABCD为边长为4的正方形，⊙B的半径为2，P是⊙B上一动点，则PD+PC的最小值为5；PD+4PC的最小值为10．【解答】解：①如图，连接PB、在BC上取一点E，使得BE＝1． PB2＝4，BE•BC＝4，∴PB2＝BE•BC，∴＝， ∠PBE＝∠CBE，小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com∴△PBE∽△CBE，∴＝＝，∴PD+PC＝PD+PE， PE+PD≤DE，在Rt△DCE中，DE＝＝5，∴PD+PC的最小值为5．②连接DB，PB，在BD上取一点E，使得BE＝，连接EC，作EF⊥BC于F． PB2＝4，BE•BD＝×4＝4，∴BP2＝BE•BD，∴＝， ∠PBE＝∠PBD，∴△PBE∽△DBP，∴＝＝，∴PE＝PD，∴PD+4PC＝4（PD+PC）＝4（PE+PC）， PE+PC≥EC，在Rt△EFC中，EF＝，FC＝，∴EC＝，∴PD+4PC的最小值为10．故答案为5，10．例题4.如图，...