小、初中、高中各卷知文案合同学种试真题识归纳PPT等免下费载www.doc985.com专题突破练6利用导数证明问题1.(2021·海南海口月考)已知函数f(x)=x2+2ax(a>0)与g(x)=4a2lnx+b的图象有公共点P,且在点P处的切线相同.(1)若a=1,求b的值;(2)求证:f(x)≥g(x).2.(2021·辽宁朝阳一模)已知函数f(x)=ex-asinx-x,曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为x+y-1=0.(1)求实数a的值;(2)证明:对∀x∈R,f(x)>0恒成立.3.(2021·河北石家庄三模)已知函数f(x)=alnx-x2+x+3a.(1)讨论函数f(x)的单调性;(2)若0<a<14,求证:f(x)<exx-x2+x.小、初中、高中各卷知文案合同学种试真题识归纳PPT等免下费载www.doc985.com4.(2021·江苏百校联盟3月联考)已知函数f(x)=aex+sinx+x,x∈[0,π].(1)证明:当a=-1时,函数f(x)有唯一的极大值点;(2)当-2<a<0时,证明:f(x)<π.5.(2021·广东湛江一模)已知函数f(x)=ex,g(x)=2ax+1.(1)若f(x)≥g(x)恒成立,求a的取值集合;(2)若a>0,且方程f(x)-g(x)=0有两个不同的根x1,x2,证明:x1+x22<ln2a.6.(2021·广州一模)已知函数f(x)=xlnx-ax2+x(a∈R).(1)证明:曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线l恒过定点;(2)若f(x)有两个零点x1,x2,且x2>2x1,证明:❑√x12+x22>4e.小、初中、高中各卷知文案合同学种试真题识归纳PPT等免下费载www.doc985.com小、初中、高中各卷知文案合同学种试真题识归纳PPT等免下费载www.doc985.com专题突破练6利用导数证明:问题1.(1)解:设P(x0,y0)(x0>0),则x02+2ax0=4a2lnx0+b.又f'(x)=2x+2a,g'(x)=4a2x,∴2x0+2a=4a2x0. a=1,∴x02+x0-2=0,∴x0=1,则4×1×0+b=1+2=3,解得b=3.(2)证明:由(1)得2x0+2a=4a2x0,即x02+ax0-2a2=0,得x0=a.∴a2+2a2-4a2lna-b=0.令h(x)=f(x)-g(x)=x2+2ax-4a2lnx-b(a>0),则h'(x)=2x+2a-4a2x=2\(x2+ax-2a2\)x=2\(x+2a\)\(x-a\)x.当0<x<a时,h'(x)<0;当x>a时,h'(x)>0,故h(x)在区间(0,a)上单调递减,在区间(a,+∞)上单调递增.∴x=a时,函数h(x)取得极小值即最小值,且h(a)=a2+2a2-4a2lna-b=0,因此h(x)≥0,故f(x)≥g(x).2.(1)解:f'(x)=ex-acosx-1. 曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为x+y-1=0,∴f'(0)=-1,∴1-a-1=-1,得a=1.(2)证明:由于f(x)=ex-sinx-x,要证明对∀x∈R,f(x)>0恒成立,需证明对∀x∈R,ex-x>sinx.令g(x)=ex-x,∴g'(x)=ex-1.令g'(x)=0,得x=0.∴当x∈(-∞,0)时,g'(x)<0,当x∈(0,+∞)时,g'(x)>0.∴函数g(x)在区间(-∞,0)上单调递减,在区间(0,+∞)上单调递增.故g(x)min=g(0)=1,即对∀x∈R,ex-x≥1都成立,∴ex-x-sinx≥1-sinx≥0,两个等号不同时成立,∴ex-x>sinx,∴对∀x∈R,f(x)>0恒成立.3.(1)解:f'(x)=ax-2x+1=-2x2+x+ax,x>0,令f'(x)=0,即-2x2+x+a=0,Δ=1+8a.当Δ≤0,即a≤-18时,f'(x)≤0,∴f(x)在区间(0,+∞)上单调递减.当Δ>0,即a>-18时,由f'(x)=0,得x1=1+❑√1+8a4,x2=1-❑√1+8a4,则x1>x2.①当a≥0时,x1>0,x2≤0,x∈(0,x1)时,f'(x)>0,x∈(x1,+∞)时,f'(x)<0,∴f(x)在区间(0,x1)上单调递增,在区间(x1,+∞)上单调递减.②当-18<a<0时,x1>0,x2>0,x∈(0,x2)∪(x1,+∞)时,f'(x)<0,x∈(x2,x1)时,f'(x)>0,小、初中、高中各卷知文案合同学种试真题识归纳PPT等免下费载www.doc985.com∴f(x)在区间(0,x2)和(x1,+∞)上单调递减,在区间(x2,x1)上单调递增.综上所述,当a≤-18时,f(x)在区间(0,+∞)上单调递减;当a≥0时,f(x)在区间0,1+❑√1+8a4上单调递增,在区间1+❑√1+8a4,+∞上单调递减;当-18<a<0时,f(x)在区间0,1-❑√1+8a4和1+❑√1+8a4,+∞上单调递减,在区间1-❑√1+8a4,1+❑√1+8a4上单调递增.(2)证明:由已知得需证a(lnx+3)<exx. a>0,x>0,∴exx>0,当lnx+3<0时,不等式显然成立.当lnx+3>0时,由于0<a<14,∴a(lnx+3)<14(lnx+3),因此只需证14(lnx+3)<exx,即证lnx+34x<exx2.令g(x)=lnx+34x(x>0),∴g'(x)=-lnx-24x2.令g'(x)=0,得x=e-2.当x∈(0,e-2)时,g'(x)>0,当x∈(e-2,+∞)时,g'(x)<0,即g(x)在区间(0,e-2)上单调递增,在区间(e-2,+∞)上单调递减.∴g(x)max=g(e-2)=e24.令h(x)=exx2(x>0),则h'(x)=ex\(x-2\)x3.当x∈(0,2)时,h'(x)<0,当x∈(2,+∞)时,h'(x)>0,∴h(x)在区间(0,2)上单调递减,在区间(2,+∞)上单调递增,∴h(x)min=h(2)=e24.∴g(x)max≤h(x)min,但两边取最...
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