小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com专题19极值点偏移一、核心先导二、考点再现考点1、极值点偏移基本定义众所周知，函数f(x)满足定义域内任意自变量x都有f(x)=f(2m−x)，则函数f(x)关于直线x=m对称；可以理解为函数f(x)在对称轴两侧，函数值变化快慢相同，且若f(x)为单峰函数，则x=m必为f(x)的极值点.如二次函数f(x)的顶点就是极值点x0，若f(x)=c的两根的中点为x1+x22，则刚好有x1+x22=x0，即极值点在两根的正中间，也就是极值点没有偏移.若相等变为不等，则为极值点偏移：若单峰函数f(x)的极值点为m，且函数f(x)满足定义域内543211232246∙小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.comx=m左侧的任意自变量x都有f(x)>f(2m−x)或f(x)<f(2m−x)，则函数f(x)极值点m左右侧变化快慢不同.故单峰函数f(x)定义域内任意不同的实数x1,x2满足f(x1)=f(x2)，则x1+x22与极值点m必有确定的大小关系：①若m<x1+x22，则称为极值点左偏；②若m>x1+x22，则称为极值点右偏.[来源:学_科_网Z_X_X_K]考点2、极值点偏移几种常考类型1.若函数f(x)存在两个零点x1,x2且x1≠x2，求证：x1+x2>2x0（x0为函数f(x)的极值点）；2.若函数f(x)中存在x1,x2且x1≠x2满足f(x1)=f(x2)，求证：x1+x2>2x0（x0为函数f(x)的极值点）；3.若函数f(x)存在两个零点x1,x2且x1≠x2，令x0=x1+x22，求证：f&#039;(x0)>0；4.若函数f(x)中存在x1,x2且x1≠x2满足f(x1)=f(x2)，令x0=x1+x22，求证：f&#039;(x0)>0.考点3、极值点偏移的判定定理对于可导函数y=f(x)，在区间(a,b)上只有一个极大（小）值点x0，方程f(x)=0的解分别为x1,x2，且a<x1<x2<b，（1）若f(x1)<f(2x0−x2)，则x1+x22<(>)x0，即函数y=f(x)在区间(x1,x2)上极（小）大值点x0右（左）偏；（2）若f(x1)>f(2x0−x2)，则x1+x22>(<)x0，即函数y=f(x)在区间(x1,x2)上极（小）大值点x0右（左）偏.三、解法解密运用判定定理判定极值点偏移的方法1、极值点偏移处理方法：（1）求出函数f(x)的极值点x0；（2）构造一元差函数F(x)=f(x0+x)−f(x0−x)；（3）确定函数F(x)的单调性；（4）结合F(0)=0，判断F(x)的符号，从而确定f(x0+x)、f(x0−x)的大小关系.口诀：极值偏离对称轴，构造函数觅行踪；四个步骤环相扣，两次单调紧跟随.小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com2、答题模板若已知函数f(x)满足f(x1)=f(x2)，x0为函数f(x)的极值点，求证：x1+x2<2x0.（1）讨论函数f(x)的单调性并求出f(x)的极值点x0；假设此处f(x)在(−∞,x0)上单调递减，在(x0,+∞)上单调递增.[来源:Z,xx,k.Com]（2）构造F(x)=f(x0+x)−f(x0−x)；注：此处根据题意需要还可以构造成F(x)=f(x)−f(2x0−x)的形式.[来源:Zxxk.Com]（3）通过求导F&#039;(x)讨论F(x)的单调性，判断出F(x)在某段区间上的正负，并得出f(x0+x)与f(x0−x)的大小关系；假设此处F(x)在(0,+∞)上单调递增，那么我们便可得出F(x)>F(x0)=f(x0)−f(x0)=0，从而得到：x>x0时，f(x0+x)>f(x0−x).（4）不妨设x1<x0<x2，通过f(x)的单调性，f(x1)=f(x2)，f(x0+x)与f(x0−x)的大小关系得出结论；接上述情况，由于x>x0时，f(x0+x)>f(x0−x)且x1<x0<x2，f(x1)=f(x2)，故f(x1)=f(x2)=f[x0+(x2−x0)]>f[x0−(x2−x0)]=f(2x0−x2)，又因为x1<x0，2x0−x2<x0且f(x)在(−∞,x0)上单调递减，从而得到x1<2x0−x2，从而x1+x2<2x0得证.（5）若要证明f&#039;(x1+x22)<0，还需进一步讨论x1+x22与x0的大小，得出x1+x22所在的单调区间，从而得出该处函数导数值的正负，从而结论得证.此处只需继续证明：因为x1+x2<2x0，故x1+x22<x0，由于f(x)在(−∞,x0)上单调递减，故f&#039;(x1+x22)<0.【说明】（1）此类试题由于思路固定，所以通常情况下求导比较复杂，计算时须细心；（2）此类题目若试题难度较低，会分解为三问，前两问分别求f(x)的单调性、极值点，证明f(x0+x)与f(x0−x)（或f(x)与f(2x0−x)）的大小关系；若试题难度较大，则直接给出形如x1+x2<2x0或f&#039;(x1+x22)<0的结论，让你给予证明，此时自己应主动把该小问分解为三问逐步解题.[来四、考点解密例1．（2022·甘肃酒泉·敦煌中学校考...