小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com第8讲平面向量的线性运算【学习目标】平面向量的线性运算是九年级数学上学期第一章第四节的内容．在八年级下学期第三章第四节“平面向量及其加减运算”中，我们学习了平面向量的相关概念和加减运算的法则，本节的学习需要建立在此基础上．本讲主要讲解实数与向量相乘，以及向量的线性运算，重点是平面向量的有关概念及线性运算，难点是在几何图形中对目标向量进行线性表示．【基础知识】一：实数与向量相乘1.平面向量的相关概念向量：既有大小、又有方向的量叫做向量；向量的长度：向量的大小也叫做向量的长度（或向量的模）；零向量：长度为零的向量叫做零向量，记作；相等的向量：方向相同且长度相等的两个向量叫做相等的向量；互为相反向量：方向相反且长度相等的两个向量叫做互为相反向量；平行向量：方向相同或相反的两个向量叫做平行向量．2.平面向量的加减法则几个向量相加的多边形法则；向量减法的三角形法则；向量加法的平行四边形法则．3.实数与向量相乘的运算设k是一个实数，是向量，那么k与相乘所得的积是一个向量，记作．如果，且，那么的长度；的方向：当k>0时与同方向；当k<0时与反方向．如果k=0或，那么．4.实数与向量相乘的运算律设m、n为实数，则；；．平行向量定理小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com如果向量与非零向量平行，那么存在唯一的实数m，使．5.单位向量单位向量：长度为1的向量叫做单位向量．设为单位向量，则．单位向量有无数个；不同的单位向量，是指它们的方向不同．对于任意非零向量，与它同方向的单位向量记作．由实数与向量的乘积可知：，．二：向量的线性运算1.向量的线性运算向量加法、减法、实数与向量相乘以及它们的混合运算叫做向量的线性运算．如、、、等，都是向量的线性运算．一般来说，如果、是两个不平行的向量，是平面内的一个向量，那么可以用、表示，并且通常将其表达式整理成的形式，其中x、y是实数．2.向量的合成与分解如果、是两个不平行的向量，（m、n是实数），那么向量就是向量与的合成；也可以说向量分解为、两个向量，这时，向量与是向量分别在、方向上的分向量，是向量关于、的分解式．平面上任意一个向量都可以在给定的两个不平行向量的方向上分解．【考点剖析】考点一：实数与向量相乘例1．下列命题中的假命题是（）（A）向量与的长度相等（B）两个相等向量若起点相同，则终点必相同（C）只有零向量的长度等于0（D）平行的单位向量都相等【难度】★【答案】D小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com【解析】D选项，平行的单位向量方向可以相同，此时是相等向量，也可以方向相反，此时是相反向量．【总结】此题主要考查向量的相关概念．例2．填空：；；；；；．【难度】★【答案】；；；；；．【解析】此题主要考查向量的加减法则，另外，加减法则之间可以转换，比如是利用减法法则，箭头指向被减数，同时，这样运算复杂了，但也是一种思路．【总结】此题主要考查向量的加减运算法则．例3．如图，已知平行四边形ABCD，对角线AC与BD相交于点O．设，，试用、表示下列向量：，，，，，．【难度】★【答案】．【解析】利用平行四边形对边平行且相等,对角线互相平分的性质来求解以上向量:；；；；；．【总结】此题主要考查向量的加减运算法则．例4．计算：；；小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com．【难度】★【答案】．【解析】（1）；（2）；（3）．【总结】此题主要考查实数与向量相乘的运算定律，以及去括号法则．例5．用单位向量表示下列向量：（1）与方向相同，且长度为9；（2）与方向相反，且长度为5；（3）与方向相反，且长度为．【难度】★【答案】．【解析】此题主要考查用单位向量来表示已知向量,．例6．如图，已知点D、E分别在的边AB、AC上，DE//BC，AD=4，BD=7，试用向量表示向量．【难度】★★【答案】．小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com【解析】 ，∴，又 ，∴．∴．【总...