小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com第08讲平面向量的线性运算掌握实数与向量相乘掌握向量的线性运算重点是平面向量的有关概念及线性运算难点是在几何图形中对目标向量进行线性表示模块一：实数与向量相乘1、平面向量的相关概念（1）向量：既有大小、又有方向的量叫做向量；（2）向量的长度：向量的大小也叫做向量的长度（或向量的模）；（3）零向量：长度为零的向量叫做零向量，记作；（4）相等的向量：方向相同且长度相等的两个向量叫做相等的向量；（5）互为相反向量：方向相反且长度相等的两个向量叫做互为相反向量；（6）平行向量：方向相同或相反的两个向量叫做平行向量．2、平面向量的加减法则（1）几个向量相加的多边形法则；（2）向量减法的三角形法则；（3）向量加法的平行四边形法则．3、实数与向量相乘的运算设k是一个实数，是向量，那么k与相乘所得的积是一个向量，记作．（1）如果，且，那么的长度；的方向：当k>0时与同方向；当k<0时与反方向．（2）如果k=0或，那么．4、实数与向量相乘的运算律设m、n为实数，则（1）；（2）；小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com（3）．5、平行向量定理如果向量与非零向量平行，那么存在唯一的实数m，使．6、单位向量单位向量：长度为1的向量叫做单位向量．设为单位向量，则．单位向量有无数个；不同的单位向量，是指它们的方向不同．对于任意非零向量，与它同方向的单位向量记作．由实数与向量的乘积可知：，．【例1】填空：；；；；；．【答案】；；；；；．【解析】此题主要考查向量的加减法则，另外，加减法则之间可以转换，比如是利用减法法则，箭头指向被减数，同时，这样运算复杂了，但也是一种思路．【总结】此题主要考查向量的加减运算法则．【例2】如图，已知平行四边形ABCD，对角线AC与BD相交于点O．设，，试用、表示下列向量：，，，，，．【答案】．【解析】利用平行四边形对边平行且相等,对角线互相平分的性质来求解以上向量:；；；；；．【总结】此题主要考查向量的加减运算法则．【例3】已知非零向量，求作，．【答案】略ODCBA小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com【解析】与方向相同，长度是的倍；方向与相反，长度是的3倍，作图略．【总结】此题主要考查如何根据已知向量求作所需的向量．【例4】如图，在平行四边形ABCD中，E、F、G、H分别为各边的中点，EG与FH相交于点O．设，，试用向量或表示向量、，并写出图中与相等的向量．【答案】，与相等的向量有．【解析】因为四边形ABCD是平行四边形，E、F、G、H分别是各边中点，所以利用平行四边形的判定定理可知图中的四个小四边形都是平行四边形，所以，与相等的向量有五个．【例5】计算：；；．【答案】．【解析】（1）；（2）；（3）．【总结】此题主要考查实数与向量相乘的运算定律，以及去括号法则．模块二：向量的线性运算1、向量的线性运算向量加法、减法、实数与向量相乘以及它们的混合运算叫做向量的线性运算．如、、、等，都是向量的线性运算．一般来说，如果、是两个不平行的向量，是平面内的一个向量，那么可以用、表示，并且通常将其表达式整理成的形式，其中x、y是实数．OHGFEDCBA小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com2、向量的合成与分解如果、是两个不平行的向量，（m、n是实数），那么向量就是向量与的合成；也可以说向量分解为、两个向量，这时，向量与是向量分别在、方向上的分向量，是向量关于、的分解式．平面上任意一个向量都可以在给定的两个不平行向量的方向上分解．【例6】计算：（1）；（2）．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）；（2）．【总结】此题主要考查向量与实数相乘，以及“合并同类项”．【例7】已知向量、不平行，x、y是实数，且，求x、y的值．【答案】 ，∴．解得：．【总结】本题主要考查相等向量的概念以及解二元一次方程组的方法．【例8】如图，已知向量、和、，求作：（1）向量分别在、方向上的分向量；（2）向量分别在、方向上的分向量．【答案】略【解析】作...