余数综合之余数问题解题技巧余数的性质1余数小于除数1.余数小于除数2.带余除法：被除数＝除数×商+余数3.余数的运算：（1）和的余数等于余数的和（2）积的余数等于余数的积（2）积的余数等于余数的积4.同余（1）若两个整数a、b被自然数m除有相同的余数，那么称a、b关于m同余，用式子表示为：a≡b(modm)（2）若两个数a，b除以同一个数m得到的余数相同，则a，b的差一定能被m整除用式子表示为：如果有a≡b(modm)，用式子表示为：如果有()，那么一定有a－b＝mk，k是整数，即m|a－b5.中国剩余定理逐级满足法逐级满足法【例1】（★）我爱数学少年数学夏令营试题有48本书分给两组小朋友，已知第二组比第一组多5人。如果把书全部分给第一组，那么每人4本，有剩余；每人5本，书不够。如果把书全分给第二组，那么每人3本，有剩余；每人4本，够。如果把书全分给第二组，那么每人3本，有剩余；每人4本，书不够。问：第二组有多少人?【例2】（全国小学数学奥林匹克试题）(★★)有两个自然数相除，商是17，余数是13，已知被除数、除数、商与余数之和为2113，则被除数是多少？1【例3】（★★★）一个三位数除以17和19都有余数，并且除以17后所得的商与余数的和等于它除以19后所得到的商与余数的和。那么这样的三位数中最大数是多少，最小数是多少？位数中最大数是多少，最小数是多少？【例4】全国小学数学奥林匹克试题(★★★)六张卡片上分别标上1193，1258，1842，1866，1912，2494六个数，甲取3张，乙取2张，丙取1张，结果发现甲、乙各自手中卡片上的数之和一个人是另个人的2倍，则丙手中卡片上中卡片上的数之和一个人是另—个人的2倍，则丙手中卡片上的数是________。【例5】(★★)有一列数排成一行，其中第一个数是3，第二个数是10，从第三个数开始，每个数恰好是前两个数的和，那么第1997个数被3除所得的余数是多少？除所得的余数是多少？【例6】(★★)今天是星期四，101000天之后将是星期几？2【例7】(★★★)若2836，4582，5164，6522四个自然数都被同一个自然数相除，所得余数相同且为两位数，除数和余数的和为_______。【例8】(★★★)甲、乙、丙三数分别为603，939，393。某数A除甲数所得余数是A除乙数所得余数的2倍，A除乙数所得余数是A除丙数所得余数的2倍。求A等于多少？数的2倍。求A等于多少？【例9】(★★★)某数除以11余8，除以13余10，除以17余12，那么这个数的最小可能值是_______。1带余除法：被除数＝除数×商＋余数一、本讲重点知识回顾1．带余除法：被除数＝除数×商＋余数2.余数运算：和的余数等于余数的和积的余数等于余数的积积的余数等于余数的积3.同余：若两个数a，b除以同一个数m得到的余数相同，则ab的差一定能被m整除则a，b的差一定能被m整除4.中国剩余定理：逐级满足法二、本讲经典例题例2例3例4例6例2，例3，例4，例63