第11讲同余定理第一关求被除数【知识点】1.所的同余，名思，就是多的被一谓顾义许数个数d去除，有相同的余．数d上的模．如数学称谓为a=6，b=1，d=5，我则们说a和b是模d同余的．因他都有相同的余为们数1．2.同余式定律6的用，我知道一的各位之和如果能被应们个数个数3整除那也能被么这个数3整除，如12，因为1+2=3能被3整除，所以12也能被3整除．如果我利用定律们6，就可以找出任何一个能被另一整除的表式．数个数达来如我用们11，来试试11可以表示为10+1，所以有同余式：10≡-1（mod11）把上式都乘以各自，即：两边10×10≡（-1）（-1）=1（mod11）10×10×10≡（-1）（-1）（-1）=-1（mod11）10×10×10×10≡1（mod11）我可以，任何一（在十制系中表示的）整们发现个进统数如果的交替到之和能被它数码变号11整除，就能被这个数11整除，如1353的交替这个数它数码变之和：号为1+（-3）+5+（-3）=0，因为0能被11整除，所以1353也能被11整除．其他的的找法数也一，都是都乘以各自的，然后找出右的的循列即可．样两边数边数环数【例1】被3、4、5除都余1，且不等于1的最小非0自然数是多少？【答案】61【例2】有一个自然数，被6除余1，被5除余1，被4除余1，这个自然数最小是几？【答案】61【例3】某个自然数除以2余1，除以3余2，除以4余1，除以5也余1，则这个数最小是多少？【答案】41【例4】妈妈有些糖，若5块5块的分，最后余1块，若4块4块的分，也余1块，妈妈至少有多少块糖？【答案】21【例5】某班同学决定分组去看望动车事故受伤的病人，按7人一组还剩1人，按6人一组也还剩1人，已知这个班人数不超过50人，则这个班级有多少人？【答案】43【例6】有一箱子橘子在30～40个之间，2个2个地数多1个，5个5个地数多1个，3个3个地数也多1个，这箱橘子有多少个？【答案】31【例7】被2、3、4、5、6除余1而被7整除的最小正整数是几？【答案】301【例8】一个盒子里装有不多于200颗糖，如果每次2颗，3颗，4颗或6颗地取出，最终盒内都只剩一颗糖，如果每次11颗地取出，那么正好取完，求盒子里共有多少颗糖？【答案】121【例9】对任意正整数m、n，定义r（m，n）为m÷n的余数（比如r（8，3）表示8÷3的余数，所以r（8，3）=2．那么满足方程r（m，1）+r（m，2）+r（m，3）+…+r（m，10）=4）的最小正整数解为多少？【答案】120【例10】一个四位数被7，8，9，10除都余3，此四位数最大是多少？【答案】7563【例11】三个不同的自然数的和为2001，它们分别除以19，23，31所得的商相同，所得的余数也相同，求这三个数。【答案】523，631，847【例12】两位自然数ab与ba除以7都余1，并且a＞b，求ab×ba【答案】2668【例13】传说中的一条龙有100个头，一名武士一剑可以砍掉它的15，17，20或5个头．就在这种情况下，勇士再次挥剑之前，在龙的肩上又分别会长出24，2，14或17个新的头．如果把龙的头都砍光了，龙就死了．问：龙会死吗？请说明理由.【答案】是不死的，理由如下：龙会掉砍15，出个头会长24新的，相于出个头当长9；个头掉砍17，出个头会长2新的，相于掉个头当砍15；个头掉砍20，出个头会长14新的，相于掉个头当砍6个；头掉砍5，出个头会长17新个的，相于出头当长12；个头相于出或掉的都是当长砍头3的倍，而数100除以3余1，所以，勇士再次之前的是除挥剑龙头数还以3余1，而武士一掉剑砍15、17、20或5，四中有除以个头这个数没3余1的，所以不死．最数砍后，最少剩4．个头这4是指剩下的个头2和又出的个头长2，勇士是不掉的，因勇士掉个头砍为砍的中不含有头数4。个头第二关求除数【例14】三个数：23，51，72，各除以大于1的自然数，得到同一个余数．则这个除数是多少？【答案】7【例15】一个数除33、48、68，余数相同，请问这个数是多少？【答案】5【例16】有一整数，除300，262，205得到的余数相同，这个整数是多少？【答案】19【例17】用一个大于0的自然数，分别去除35、59和123，所得的余数相同．这个数是多少？【答案】2或4或8【例18】100和84除以同一个数，得到的余数相同，但余数不为0．这个除数可能是多少？【答案】8或16【例19】有一个大于1的整数，除45，59，101所得的余数相同，这个数是多少？...