知识必备02方程与不等式方法1：不等式（组）中的分类讨论1．（2022•黔东南州）在解决数学实际问题时，常常用到数形结合思想，比如：|x+1|的几何意义是数轴上表示数x的点与表示数﹣1的点的距离，|x2|﹣的几何意义是数轴上表示数x的点与表示数2的点的距离．当|x+1|+|x2|﹣取得最小值时，x的取值范围是（）A．x≤1﹣B．x≤1﹣或x≥2C．﹣1≤x≤2D．x≥2【分析】以﹣1和2为界点，将数轴分成三部分，对x的值进行分类讨论，然后根据绝对值的意义去绝对值符号，分别求出代数式的值进行比较即可．【解答】解：如图，当x＜﹣1时，x+1＜0，x2﹣＜0，|x+1|+|x2|﹣＝﹣（x+1）﹣（x2﹣）＝﹣x1﹣﹣x+2＝﹣2x+1＞3；当x＞2时，x+1＞0，x2﹣＞0，|x+1|+|x2|﹣＝（x+1）+（x2﹣）＝x+1+x2﹣＝2x1﹣＞3；当﹣1≤x≤2时，x+1≥0，x2≤0﹣，|x+1|+|x2|﹣＝（x+1）﹣（x2﹣）＝x+1﹣x+2＝3；综上所述，当﹣1≤x≤2时，|x+1|+|x2|﹣取得最小值，所以当|x+1|+|x2|﹣取得最小值时，x的取值范围是﹣1≤x≤2．故选C．【点评】本题结合数轴考查了绝对值的意义以及绝对值的性质，解题的关键是以﹣1和2为界点对x的值进行分类讨论，进而得出代数式的值．2．（2023•淄博）某古镇为发展旅游产业，吸引更多的游客前往游览，助力乡村振兴，决定在“五一”期间对团队*旅游实行门票特价优惠活动，价格如下表：购票人数m（人）10≤m≤5051≤m≤100m＞100每人门票价（元）605040*题中的团队人数均不少于10人．现有甲、乙两个团队共102人，计划利用“五一”假期到该古镇旅游，其中甲团队不足50人，乙团队多于50人．（1）如果两个团队分别购票，一共应付5580元，问甲、乙团队各有多少人？（2）如果两个团队联合起来作为一个“大团队”购票，比两个团队各自购票节省的费用不少于1200元，问甲团队最少多少人？【分析】（1）设甲团队有x人，乙团队（102﹣x）人，但需要考虑乙团队人数是否大于100，所以分类讨论即可．甲团队按票价是每人80元，乙团队按票价是每人60元，如果乙超过100人，大概需要缴纳4000多元，但是5580元减去4000多元，剩下的钱不足以构成甲的人数，因为此时甲的人数只能是1人，所以这种情况省略；所以甲人数在50以下，乙人数在51到100之间，联列方程即可；（2）两个团队要合起来购票的话，每人40元，列出一共购票的钱和各自购票的钱之和，然后建立不等式即可求解；【解答】解：（1）设甲人数x人，乙人数（102﹣x）人； 当乙大于100人时，此时甲人数只能是1人，共花的价格不够5580元；∴乙人数在51到100之间，甲人数在10到50之间；∴列方程得：60x+（102﹣x）50＝5580；解之得：x＝48，102﹣x＝54；∴甲48人，乙54人；答：甲团队48人，乙团队54人．（2）设甲人数x人，乙人数（102﹣x）人；甲乙一起买价格：102×40＝4080（元）；甲乙分开买价格：60x+（102﹣x）50；∴60x+（102﹣x）504080≥1200﹣；解之得：x≥18．∴甲最少18人；答：甲团队最少18人．【点评】本题考查学生不等式的基本应用，属于基础题．方法2:方程中的转化思想3．（2023•德阳）在初中数学文化节游园活动中，被称为“数学小王子”的王小明参加了“智取九宫格”游戏比赛，活动规则是：在九宫格中，除了已经填写的三个数之外的每一个方格中，填入一个数，使每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和分别相等，且均为m．王小明抽取到的题目如图所示，他运用初中所学的数学知识，很快就完成了这个游戏，则m＝39．【分析】设九宫格中最中间的数为x，由于第1列中间数与第2行的最左侧的数重合，建立方程16+4＝7+x，求得x，根据九宫格每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和等于最中间数的三倍所以m＝3x．【解答】解：设九宫格中最中间的数为x， 第1列中间数与第2行的最左侧的数重合，∴16+4＝7+x，∴x＝13，根据九宫格每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和等于最中间数的三倍，∴m＝3x＝39，故答案为：39．【点评】本题考查了九宫格的知识，根据九宫格每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等的规律，观察九宫格中数的排列特征建立方程是解决问题的关键．方法3：根的判别式4．（2023•广元）关于x的一元...