专题13等腰（等边）三角形中的重要模型之维维尼亚模型维维亚尼定理（Viviani'stheorem）：在等边三角形内任意一点P到三边的垂直距离之和，等于该等边三角形的高。这个定理可一般化为：等角多边形内任意一点P跟各边的垂直距离之和，是不变的，跟该点的位置无关。它以温琴佐·维维亚尼命名。而今天我们要学习的维维亚尼模型就是维维亚尼定理及其拓展，它的证明主要利用了等面积法，消去相等底边后得到高之间的关系，因此等腰三角形的维维亚尼模型动点只能在底边所在直线上运动，此时连接点和底边所对顶点，能江原图分割成两个底相等的三角形。.................................................................................................................................................2模型1.等边三角形中维维尼亚模型...............................................................................................................2模型2.等腰三角形中维维尼亚模型...............................................................................................................7...............................................................................................................................................14模型1.等边三角形中维维尼亚模型条件：在等边中，P是平面上一动点，过点P作PE⊥AC，PF⊥BC，PD⊥AB，过点A作AM⊥BC。结论：①如图1，若动点P在三角形ABC内时，则PD+PE+PF=AM；②如图2，若动点P在三角形ABC外时，则PD+PE-PF=AM。（当点P在三角形ABC外时，受P的位置影响，不同的位置结论稍有不同，但都可以使用等面积法证明）。图1图2证明：①如图1，连结AP，BP，CP。 是等边三角形，∴AB=BC=AC，则， ；∴PD+PE+PF=AM。②如图3，连结AP，BP，CP。 是等边三角形，∴AB=BC=CA，则， ；∴PD+PE-PF=AM。例1．（2024·河北·二模）如图，P为边长为2的等边三角形ABC内任意一点，连接PA、PB、PC，过P点分别作BC、AC、AB边的垂线，垂足分别为D、E、F，则PD+PE+PF等于（）A．B．C．2D．例2．（2024八年级·广东·培优）如图，点P为等边外一点，设点P到三边的距离，且，则的面积等于（）A．B．C．D．例3．（23-24八年级上·浙江宁波·期中）如图，P是等边三角形内一点，且，，，以下3个结论：①；②；③；④若点P到三边的距离分别为，，，则有，其中正确的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个例4．（23-24八年级上·云南昆明·期末）如图（1），已知在中，且过A作于点P，点M是直线上一动点，设点M到两边、的距离分别为m，n，的高为h．(1)当点M运动到什么位置时，，并说明理由．(2)如图（2），试判断m、n、h之间的关系，并证明你的结论．(3)如图（3），当点M运动到的延长线上时，求证：模型2.等腰三角形中维维尼亚模型条件：如图，等腰（AB=AC）中，点P在BC上运动，过点P作PD⊥AB，PH⊥AC，CE⊥AB，结论：①如图1，若动点P在边BC上时，则PE+PD=CF。②如图2，若动点P在BC延长线上时，则|PF-PE|=CD。图1图2证明：①如图1，连结AP； 是等边三角形，∴AB=AC，则， ；∴PE+PD=CF。①如图2，连结AP； 是等边三角形，∴AB=AC，则， ；∴PF-PE=CD。例1．（23-24八年级上·广西百色·期末）如图，已知△ABC是等腰三角形，AB=AC，点O是BC上任意一点，OE⊥AB，OF⊥AC，等腰三角形的腰长为4，面积为4，则OE+OF的值为()A．1.5B．2C．2.5D．3例2．（23-24九年级下·四川成都·阶段练习）如图，将矩形沿EF折叠，使点D落在点B处，P为折痕上的任意一点，过点P作，垂足分别为G，H，若，，则．例3．（23-24八年级下·江西吉安·阶段练习）数学课上，老师画出一等腰并标注：，，然后让同学们提出有效问题并解决请你结合同学们提出的问题给予解答．(1)甲同学提出：______度；(2)乙同学提出：的面积为：______；(3)丙同学提出：点D为边的中点，，，垂足为E、F，请求出的值；(4)丁同学说受丙同学启发，点D为边上任一点，，，，垂足为E、F、H，则有．请你为丁同学说明理由．例4．（23-24山西八年级上期中）（1）如图（1），已知在等腰三角形中，，点是底边上...