专题14三角形中的重要模型之帽子模型、等边截等长与等边内接等边模型等腰（等边）三角形是中学阶段非常重要三角形，具有许多独特的性质和判定定理。中考数学的常客，并且形式多样，内容新颖，能较好地考查同学们的相关能力。本专题将把等腰三角形的三类重要模型作系统的归纳与介绍，方便大家对它有个全面的了解与掌握。.................................................................................................................................................2模型1.等腰三角形中的重要模型-帽子模型（长短手模型）......................................................................2模型2.等边截等长模型（定角模型）.........................................................................................................3模型3.等边内接等边......................................................................................................................................4.................................................................................................................................................8模型1.等腰三角形中的重要模型-帽子模型（长短手模型）帽子模型，其实是等腰三角形独特性质的应用，因为模型很像帽子，学习知识点的同时也增加了趣味性。条件：如图，已知AB=AC，BD=CE，DG⊥BC于G，结论：①DF=FE；②。证明：如图，过点D作交于H，则，， ，∴，∴，∴， ，∴，在和中,，∴，∴； ，∴， ，，∴，∴，∴．例1．（23-24八年级上·广东中山·期末）如图，中，，，点P从点B出发沿线段移动到点A停止，同时点Q从点C出发沿的延长线移动，并与点P同时停止．已知点P，Q移动的速度相同，连接与线段相交于点D(不考虑点P与点A，B重合时的情况)．(1)求证:；(2)求证:；(3)如图，过点P作于点E，在点P，Q移动的过程中，线段的长度是否变化?如果不变，请求出这个长度；如果变化，请说明理由．例2．（24-25九年级上·山西临汾·阶段练习）综合与探究问题情境：在中，，在射线上截取线段，在射线上截取线段，连结，所在直线交直线于点M．猜想判断：（1）当点D在边的延长线上，点E在边上时，过点E作交于点F，如图①．若，则线段、的大小关系为_______．深入探究：（2）当点D在边的延长线上，点E在边的延长线上时，如图②．若，判断线段、的大小关系，并加以证明．拓展应用：（3）当点D在边上（点D不与、重合），点E在边的延长线上时，如图③．若，，，求的长．例3．（2024·贵州铜仁·模拟预测）如图，过边长为6的等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，连PQ交AC边于D，当PA＝CQ时，DE的长为（）A．1B．2C．3D．4例4．（2024·河南·校考一模）问题背景：已知在中，边AB上的动点D由A向B运动(与A，B不重合)，同时点E由点C沿BC的延长线方向运动(E不与C重合)，连接DE交AC于点F，点H是线段AF上一点，求的值．（1）初步尝试：如图①，若是等边三角形，，且点D､E的运动速度相等，小王同学发现可以过点D作交AC于点G，先证，再证，从而求得的值为________；（2）类比探究：如图②，若中，，且点D，E的运动速度之比是，求的值；（3）延伸拓展：如图③，若在中，，记，且点D､E的运动速度相等，试用含m的代数式表示的值(直接写出结果，不必写解答过程)．模型2.等边截等长模型（定角模型）条件：如图，在等边中，点，分别在边，上，且，与相交于点，于点．结论：①；②AD=BE；③；④BQ=2PQ。证明：在等边三角形中，，，在和中，，，∴AD=BE，∠CAD=∠ABE；．，，∴BQ=2PQ．例1．（2024·四川宜宾·中考真题）如图，点D、E分别是等边三角形边、上的点，且，与交于点F．求证：．例2．（2024八年级·重庆·培优）如图，为等边三角形，且与相交于点，则（）．A．等于B．等于C．等于D．大小不确定例3．（23-24八年级·广东中山·期中）如图，在等边中，点分别在边上，且，与相交于点，于点．(1)求证：；(2)若，求的长．例4．（2023·浙江杭州·模拟预测）如图，在等边三角形的，边上各取一点，（均不...