专题30解直角三角形模型之12345模型初中几何，直角三角形具有举足轻重的地位，贯彻初中数学的始终，无论是一次函数、平行四边形、特殊平行四边形、反比例函数、二次函数、相似、圆，都离不开直角三角形。今天我们要重点介绍的“12345”模型就是中考（选填题）解题神器，需要我们反复断钻研、领悟。现在带领大家领略一下，“12345”模型的独特魅力。.................................................................................................................................................1模型1.“12345”模型及衍生模型...................................................................................................................1...........................................................................................................................................................3...............................................................................................................................................13模型1.“12345”模型及衍生模型（19年北京市中考）如图所示的网格是正方形网格，则∠PAB+∠PBA＝°（点A，B，P是网格交点）。该类问题解法很多，这里我们就根据现有的方格纸来构造一个等腰直角三角形。如图，即：∠PAB+∠PBA=∠BPQ=45°。上面的∠PAB和∠PBA便是今天要说的特殊角，除了它们的和为45°之外，用三角函数的观点来看：tan∠PAB=，tan∠PBA=，对于这里的数据，为了便于记忆，总结为“12345”模型。12345基础模型模型还可变式为；变式1：；变式2：。证明：（基础模型）如图，作矩形ABCD，且AB=CD=3，AD=BC=4，在BC上取一点E使得BE=1，在DC上取一点F使得DF=2，根据矩形性质得：EC=3，CF=1，故tan∠DAF=，tan∠BAE=，tan∠FEC=，易证：△ABE≌△ECF，∴∠BAE=∠CEF，AE=EF， ∠BAE+∠AEB=90°，∴∠CEF+∠AEB=90°，∴∠AEF=90°，∴∠EAF=45°图1证明：（模型变式1）如图，作矩形ABCD，且AB=CD=a，AD=BC=a+b，在BC上取一点E使得BE=a，在DC上取一点F使得DF=b-a，根据矩形性质得：EC=b，CF=a，故tan∠DAF=，tan∠BAE=，tan∠FEC=，易证：△ABE≌△ECF，∴∠BAE=∠CEF，AE=EF， ∠BAE+∠AEB=90°，∴∠CEF+∠AEB=90°，∴∠AEF=90°，∴∠EAF=45°模型变式2可借鉴变式1证明方法，自行证明即可。注意：下面模型中，，2，3，，均为对应角的正切值。（1）∠α+∠β＝45°；（2）∠α+45°＝∠GAF；（3）∠DAF+45°＝∠EAH；（4）∠α+∠β＝135°；（5）∠α+∠β＝90°；（6）∠ADB+∠DBA＝∠BAC；（6）∠ADB+∠DBA＝∠BAC；上面的这些补充的模型，证明并不算困难，有兴趣的同学可借助网格图或构造图形自行进行证明。切记：做题不光要知道题目告诉我什么，还要根据已知的信息，思考这里需要什么，而“12345”模型用来解决相关的选填题非常方便。下面所列举的某些题，利用“12345”解题也许未必是最简，最巧妙的，但至少可以成为一种通性通法，可在短时间内快速破题。毕竟在考试的时候时间是非常宝贵的。例1．（2022·四川乐山·中考真题）如图，在中，，，点D是AC上一点，连接BD．若，，则CD的长为（）A．B．3C．D．2【答案】C【分析】法1：先根据，，再由12345模型知：∠BDC＝45°，从而可求出CD．法2：先根据锐角三角函数值求出，再由勾股定理求出过点D作于点E，依据三角函数值可得从而得，再由得AE=2，DE=1，由勾股定理得AD=，从而可求出CD．【详解】法1： ，，∴根据12345模型知：∠BDC＝45°， ，∴三角形BCD为等腰直角三角形， ，∴CD=法2：在中，，，∴∴由勾股定理得,过点D作于点E，如图， ，，∴∴∴∴ ∴∴∴,在中,∴ ∴故选：C【点睛】本题主要考查了勾股定理，由锐角正切值求边长，正确作辅助线求出DE的长是解答本题的关键．例2．（2024·吉林长春·校考二模）如图，正方形ABCD中，AB=8，G是BC的中点．将△ABG沿AG对折至△AFG，延长GF交DC于点E，则DE的长是（）A．B．2C．D．3【答案】C【分析】法1：连接AE，由折叠的性质可得AF=AB=AD，BG=GF，易证Rt△ADE≌Rt△AFE，得到...