专题35最值模型之费马点模型费马点问题是由全等三角形中的手拉手模型衍生而来，主要考查转化与化归等的数学思想，在各类考试中都以中高档题为主。本专题就最值模型中的费马点问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。【模型背景】皮耶·德·费马，17世纪法国数学家，有“业余数学家之王”的美誉，之所以叫业余并非段位不够，而是因为其主职是律师，兼职搞搞数学．费马在解析几何、微积分等领域都有卓越的贡献，除此之外，费马广为人知的是以其名字命名的“费马小定理”、“费马大定理”等．费马点：三角形内的点到三个顶点距离之和最小的点。.................................................................................................................................................1模型1.费马点模型...........................................................................................................................................1模型2.加权费马点模型.................................................................................................................................12...............................................................................................................................................20模型1.费马点模型结论：如图1，点M为△ABC内任意一点，连接AM、BM、CM，当M与三个顶点连线的夹角为120°时，MA+MB+MC的值最小。图1图2图3注意：上述结论成立的条件是△ABC的最大的角要小于120º，若最大的角大于或等于120º，此时费马点就是最大角的顶点A。（这种情况一般不考，通常只考查三角形的最大顶角小于120°）证明：如图2，以AB为一边向外作等边三角形△ABE，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN． △ABE为等边三角形，∴AB＝BE，∠ABE＝60°．而∠MBN＝60°，∴∠ABM＝∠EBN．在△AMB与△ENB中， ，∴△AMB≌△ENB（SAS）．连接MN．由△AMB≌△ENB知，AM＝EN． ∠MBN＝60°，BM＝BN，∴△BMN为等边三角形．∴BM＝MN．∴AM+BM+CM＝EN+MN+CM．∴当E、N、M、C四点共线时，AM+BM+CM的值最小．此时，∠BMC＝180°﹣∠NMB＝120°；∠AMB＝∠ENB＝180°﹣∠BNM＝120°；∠AMC＝360°﹣∠BMC﹣∠AMB＝120°．费马点的作法：如图3，分别以△ABC的AB、AC为一边向外作等边△ABE和等边△ACF，连接CE、BF，设交点为M，则点M即为△ABC的费马点。【最值原理】两点之间，线段最短。例1．（23-24九年级上·广东江门·阶段练习）如图，在中，，点为内部一点，则点到三个顶点之和的最小值是．【答案】【分析】将绕着点A顺时针旋转，得到，连接，过点C作，交的延长线于N，由旋转的性质可得，，，，，易得是等边三角形，可得，进而得到，当点H、E、P、C共线时，有最小值，再求出和的长度，由勾股定理可求解．【详解】解：将绕着点A顺时针旋转，得到，连接，过点C作，交的延长线于N，∴，，，，，∴，∴是等边三角形，∴，∴，∴当点H、E、P、C共线时，有最小值． ，，∴，∴，∴．在中，，即点P到三个顶点之和的最小值是．故答案为：．【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质，构造旋转图形是本题的关键．例2．（2024·江苏宿迁·模拟预测）如图，在矩形中，是的中点，是边上一动点，将沿着翻折，使得点落在点处，矩形内有一动点连接则的最小值为．【答案】【分析】将绕点D逆时针旋转得到，连接，从而将转化到，当点E、、P、、在同一条直线上时，=取得最小值．【详解】如图，将绕点D逆时针旋转得到，连接，则有：、是等边三角形，=由折叠的性质可知，的运动轨迹是以E为圆心，EB长为半径的圆（如图所示），故当E、、P、、在同一直线上时取最小值；是的中点，、是等边三角形，DC=4，，，的最小值为：==；故答案为．【点睛】本题考查了图形中求最短距离的问题，解题的关键是把所求线段转化到同一直线中求解．例3．（23-24九年级下·河南周口·阶段练习）【问题背景】在已知所在平面内求一点P，使它到三角形的三个顶点的距离之和最小（如图1...