专题33最值模型之胡不归模型胡不归模型可看作将军饮马衍生，主要考查转化与化归等的数学思想，近年在中考数学和各地的模拟考中常以压轴题的形式考查，学生不易把握。本专题就最值模型中的胡不归问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。在解决胡不归问题主要依据是：点到线的距离垂线段最短。.................................................................................................................................................1模型1.胡不归模型（最值模型）...................................................................................................................1...............................................................................................................................................13模型1.胡不归模型（最值模型）从前有个少年外出求学，某天不幸得知老父亲病危的消息，便立即赶路回家．根据“两点之间线段最短”，虽然从他此刻位置A到家B之间是一片砂石地，但他义无反顾踏上归途，当赶到家时，老人刚咽了气，小伙子追悔莫及失声痛哭．邻居告诉小伙子说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？”看到这里很多人都会有一个疑问，少年究竟能不能提前到家呢？假设可以提早到家，那么他该选择怎样的一条路线呢？这就是今天要讲的“胡不归”问题.V1V2V1驿道砂石地ABC一动点P在直线MN外的运动速度为V1，在直线MN上运动的速度为V2，且V1<V2，A、B为定点，点C在直线MN上，确定点C的位置使的值最小．（注意与阿氏圆模型的区分）。V2V1MNCBACH=kACsinα=CHAC=kHDαABCNMMNCBAαDH1），记，即求BC+kAC的最小值.2）构造射线AD使得sin∠DAN=k，，CH=kAC,将问题转化为求BC+CH最小值.3）过B点作BH⊥AD交MN于点C，交AD于H点，此时BC+CH取到最小值，即BC+kAC最小．【解题关键】在求形如“PA+kPB”的式子的最值问题中，关键是构造与kPB相等的线段，将“PA+kPB”型问题转化为“PA+PC”型．（若k>1，则提取系数，转化为小于1的形式解决即可）。【最值原理】垂线段最短。例1.（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，在中，，，P为边上的一个动点（不与A、C重合），连接，则的最小值是（）A．B．C．D．8【答案】B【分析】以为斜边在下方作等腰直角，过B作于E，通过解直角三角形可得的长，再根据，可得，据此即可解答．【详解】解：如图，以为斜边在下方作等腰直角，过B作于E，连接，，，，，，的最小值为．故选：B．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，点到直线的距离，作出辅助线是解决本题的关键．例2．（23-24九年级上·湖南娄底·阶段练习）如图，在矩形中，，E，P分别是边和对角线上的动点，连接，记，若，则的最小值为（）A．3B．4C．5D．【答案】A【分析】本题考查了三角函数的定义，矩形的判定和性质．过点P作于点H，交于点G，求得，根据垂线段最短，知当点E与点G重合时，有最小值，据此求解即可．【详解】解：过点P作于点H，交于点G， 四边形是矩形，∴，∴四边形是矩形，∴，∴， ，，∴，∴，，∴，∴，当点E与点G重合时，有最小值，最小值为的长， ，∴的最小值为3，故选：A．例3．（2024·陕西渭南·二模）如图，在菱形中，对角线相交于点，，，是对角线上的动点，则的最小值为．【答案】【分析】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，解直角三角形，过点P作，连接，由菱形的性质可得，则由勾股定理可得，解直角三角形得到，则，进而得到当三点共线，且时，最小，最小值为的长，据此利用等面积法求出的长即可得到答案．【详解】解：如图所示，过点P作，连接， 在菱形中，对角线相交于点，，，∴，∴，∴，∴在中，，∴，∴当三点共线，且时，最小，最小值为的长，∴此时有，∴，∴，∴的最小值为，故答案为：．例4．（2023·云南昆明·统考二模）如图，正方形边长为4，点E是边上一点，且．P是对角线上一动点，则的最小值为（）A．4B．C．D．【答案】D【分析】连接AC，作，证明当取最小值时，A，P，G三点共线，且，此时最小值为AG，再利用勾股定理，所对的直角边等于斜边的一半即可求出结果．【详解...