专题23全等与相似模型之十字架模型几何学是数学的一个重要分支，研究的是形状、大小和相对位置等几何对象的性质和变换。在初中几何学中，十字模型就是综合了上述知识的一个重要模型。本专题就十字模型相关的考点作梳理，帮助学生更好地理解和掌握。.................................................................................................................................................1模型1.正方形中的十字架模型（全等模型）..........................................................................................................1模型2.矩形中的十字架模型（相似模型）..............................................................................................................7模型3.等边三角形中的斜十字模型（相似模型）.................................................................................................12模型4.直角三角形中的十字模型（相似模型）....................................................................................................17...............................................................................................................................................22模型1.正方形中的十字架模型（全等模型）“十字形”模型，基本特征是在正方形中构成了一个互相重直的“十字形”，由此产生了两组相等的锐角及一组全等的三角形。条件：1）如图1，在正方形ABCD中，若E、F分别是BC、CD上的点，AE⊥BF；结论：AE=BF。证明：四边形是正方形，，，∴AE⊥BF，∴，，，∴AE=BF。条件：2）如图2，在正方形ABCD中，若E、F、G分别是BC、CD、AB上的点，AE⊥GF；结论：AE=GF。证明：在FC上取一点P，使得GB=PF，连结BP。四边形是正方形，∴AB//CD，∴四边形是平行四边形，∴GF//BP，GF=BP，同1）中证明，可得AE=GF。条件：3）如图3，正方形ABCD中，若E、F、G、H分别是BC、CD、AB、AD上的点，EH⊥GF；结论：HE=GF。证明：在FC、BE上取一点P、Q，使得GB=PF，AH=QE，连结BP、AQ。四边形是正方形，∴AB//CD，∴四边形是平行四边形，∴GF//BP，GF=BP，同理可证得：四边形是平行四边形，∴AQ//HF，AQ=HF，同1）中证明，可得HE=GF。例1．（2023.江苏吴江九年级期中）如下图，将边长为9cm的正方形纸片ABCD折叠，使得点A落在边CD上的E点，折痕为MN．若CE的长为6cm，则MN的长为cm．【答案】3【分析】根据图形折叠前后图形不发生大小变化得出∠MWE=∠AWM=90°，进而得出∠DAE=∠DAE，再证明△NFM≌△ADE，然后利用勾股定理的知识求出MN的长．【详解】解：作NF⊥AD，垂足为F，连接AE，NE， 将正方形纸片ABCD折叠，使得点A落在边CD上的E点，折痕为MN，∴∠D=∠AHM=90°，∠DAE=∠DAE，∴△AHM∽△ADE，∴∠AMN=∠AED，在△NFM和△ADE中 ，∴△NFM≌△ADE（AAS），∴FM=DE=CD-CE=3cm，又 在Rt△MNF中，FN=9cm，∴根据勾股定理得：MN==3（cm）．故答案为3．【点睛】本题考查了图形的翻折变换，根据图形折叠前后图形不发生大小变化得出三角形的全等是解决问题的关键，难度一般．例2．（2023年辽宁省丹东市中考数学真题）如图，在正方形中，，点E，F分别在边，上，与相交于点G，若，则的长为．【答案】【分析】根据题意证明，，利用勾股定理即可求解．【详解】解：四边形是正方形，，，，，，，，，，又，，，，，，，．故答案为：．【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质，掌握这些性质是解题的关键．例3．（2024·广东梅州·一模）如图，E、F分别是正方形的边，上的点，且，，相交于点，下列结论：①；②；③；④中，正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C【分析】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，证明是解题的关键．根据四边形是正方形及，可证出，则得到：①；可判断④；可以证出，则②一定成立；用反证法可证明，即可判断③．【详解】解：四边形是正方形，，，，，在和中，，，（故①正确）；∴ 四边形是正方形，∴∴...