小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com专项23三角形的内心与外心考点1三角形的内心（1）三角形的内切圆：在三角形内部且与三角形三边都相切的圆；（2）三角形的内心：三角形内切圆的圆心，实质是三角形的三个内角平分线交点；【解题技巧】（3）见到三角形的内心就想以下两点：①角平分线：内心与顶点的连线必然平分三角形的内角.如图，点O为△ABC的内心，连接AO、BO、CO，必有AO平分∠CAB，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB②等距：内心到三角形三边的距离必定相等.如图，点O为△ABC的内心，过点O作三边的垂线，必有OD=OE=OF.注意：内切圆及有关计算。（1）三角形内切圆的圆心是三个内角平分线的交点，它到三边的距离相等。（2）△ABC中，∠C=90°，AC=b，BC=a，AB=c，则内切圆的半径r=a+b−c2。小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com（3）S△ABC=12r(a+b+c)，其中a，b，c是边长，r是内切圆的半径。（4）弦切角：角的顶点在圆周上，角的一边是圆的切线，另一边是圆的弦。如图，BC切⊙O于点B，AB为弦，∠ABC叫弦切角，∠ABC=∠D。C考点2三角形的外心（1）三角形的外接圆：经过三角形的三个顶点可以作一个圆，这个圆叫作三角形的外接圆；（2）三角形的外心：三角形外接圆的圆心，实质是三角形的三条边的垂直平分线交点；【解题技巧】（3）见到三角形的外心就想以下两点：①垂直平分线：外心到三角形三边的垂线必然平分三条边.如图，点P为△ABC的外心，若PDAC⊥，PEBC⊥，必有AD=CD，BE=CE.②等距：外心到三角形三个顶点的距离必然相等.如图，点P为△ABC的外心，连接PA、PB、PC，必有PA=PB=PC.（4）与三角形外心有关的角度问题：①外心在三角形的内部三角形为锐角三角形三个角都小于90°②外心在三角形的边上三角形为直角三角形有一个角为90°；ADOB小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com③外心在三角形的外部三角形为钝角三角形有一个角大于90°.【考点1三角形的内心】【典例1】（2022•河池模拟）如图，△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，CA分别相切于点D，E，F，AB＝14，BC＝13，CA＝9，则AD的长是（）A．3.5B．4C．4.5D．5【答案】D【解答】解：设AD＝x， △ABC的内切圆⊙O与AB，BC，CA分别相切于点D，E，F，∴AF＝AD，CE＝CF，BD＝BE， AB＝14，BC＝13，CA＝9，∴BD＝BE＝14﹣x，CF＝CE＝9﹣x， CE+BE＝BC＝13，∴9﹣x+14﹣x＝13，∴x＝5，∴AD＝5．故选：D．小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com【变式1-1】（2022•五华区校级三模）如图，△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F．已知△ABC的周长为36，AB＝9，BC＝14，则AF的长为（）A．4B．5C．9D．13【答案】A【解答】解：设AF＝a， △ABC的周长为36，AB＝9，BC＝14，∴AC＝13， △ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，∴AF＝AE，CE＝CD，BF＝BD， AB＝9，BC＝14，CA＝13，∴BD＝BF＝9﹣a，CD＝CE＝13﹣a， BD+CD＝BC＝14，∴（9﹣a）+（13﹣a）＝14，解得：a＝4，即AF＝4．故选：A．【典例2】（2019秋•江岸区校级月考）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，⊙O为△ABC的内切圆，切点分别为D、E、F．若AD＝10，BC＝5，则OB的长为（）A．4B．C．D．【答案】C【解答】解：连接OE、OF，如图所示：小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com ⊙O为△ABC的内切圆，切点分别为D、E、F，∴AD＝AF＝10，BD＝BE，CE＝CF，OE⊥BC，OF⊥AC， ∠ACB＝90°，∴四边形OECF是正方形，∴OE＝CE＝CF，设BD＝BE＝x，则OE＝CF＝CE＝5﹣x．AC＝AF+CF＝10+5﹣x＝15﹣x，在Rt△ABC中，由勾股定理得：52+（15﹣x）2＝（10+x）2，解得：x＝3，∴BE＝3，OE＝2，∴OB＝＝＝；故选：C．【变式2-1】（2021秋•南丹县期末）如图，△ABC的内切圆⊙O分别与AB，AC，BC相切于点D，E，F．若∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，则⊙O的半径等于．【答案】2【解答】解：如图，连结OD，OE，OF，设⊙O半径为r， ∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳...