小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com专题24.3垂径定理【十大题型】【人教版】【题型1利用垂径定理求线段长度】.....................................................................................................................1【题型2利用垂径定理求角度】.............................................................................................................................5【题型3利用垂径定理求最值】.............................................................................................................................9【题型4利用垂径定理求取值范围】...................................................................................................................13【题型5利用垂径定理求整点】...........................................................................................................................18【题型6利用垂径定理求面积】...........................................................................................................................22【题型7垂径定理在格点中的运用】...................................................................................................................26【题型9垂径定理与分类讨论中的综合运用】....................................................................................................33【题型10垂径定理的应用】..................................................................................................................................37【知识点1垂径定理及其推论】（1）垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．（2）垂径定理的推论推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．【题型1利用垂径定理求线段长度】【例1】（2022•雨花区校级开学）如图，⊙O的半径OD⊥弦AB交AB于点C，连接AO并延长交⊙O于点E，连接EC．若AB＝8，EC＝2❑√13，则CD的长为（）小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.comA．1B．3C．2D．4【分析】由垂径定理得出AC＝BC＝4，连接BE，由∠CBE＝90°及CE长度求出BE＝6，在Rt△ABE中求出AE＝10，从而得出半径OA＝OD＝5，再在Rt△AOC中求出OC，从而得出答案．【解答】解： OD⊥AB，AB＝8，∴AC＝BC＝4，如图，连接BE， AE是⊙O的直径，∴∠ABE＝90°， CE＝2❑√13，∴BE¿❑√CE2−BC2=❑√(2❑√13)2−42=¿6，则AE¿❑√AB2+BE2=❑√82+62=¿10，∴AO＝OD＝5，在Rt△AOC中，OC¿❑√AO2−AC2=❑√52−42=¿3，则CD＝OD﹣OC＝2，故选：C．【变式1-1】（2022•宁津县二模）如图，已知圆O的半径为10，AB⊥CD，垂足为P，且AB＝CD＝16，则OP的长为（）A．6B．6❑√2C．8D．8❑√2【分析】根据题意作出合适的辅助线，然后根据垂径定理、勾股定理即可求得OP的长，本题得以解决．小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com【解答】解：作OE⊥AB交AB与点E，作OF⊥CD交CD于点F，如右图所示，则AE＝BE，CF＝DF，∠OFP＝∠OEP＝90°，又 圆O的半径为10，AB⊥CD，垂足为P，且AB＝CD＝16，∴∠FPE＝90°，OB＝10，BE＝8，∴四边形OEPF是矩形，OE＝6，同理可得，OF＝6，∴EP＝6，∴OP¿❑√62+62=6❑√2，故选：B．【变式1-2】（2022•建华区二模）如图，⊙O的直径AB与弦CD相交于点E，若AE＝5，EB＝1，∠AEC＝30°，则CD的长为（）A．5B．2❑√3C．4❑√2D．2❑√2+❑√3+1【分析】因为∠AED＝30°，可过点O作OF⊥CD于F，构成直角三角形，先求得⊙O的半径为3，进而求得OE＝31﹣＝2，根据30°角所对的直角边等于斜边的一半，得出OF¿12OE＝1，再根据勾股定理求得DF的长，然后由垂径定理求...