小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com第一次月考难点特训（一）与二次函数有关的压轴题1．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（4，0），B（﹣1，0）两点与y轴交于点C，动点P在抛物线上．（1）求抛物线的解析式；（2）是否存在点P，使得△ACP是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由．（3）过动点P作PE垂直于y轴于点E，交直线AC于点D，过点D作x轴的垂线，垂足为F，连接EF，当线段EF的长度最短时，请直接写出点P的坐标．【解答】解：（1） 抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（4，0），B（﹣1，0）两点，∴{−16+4b+c=0−1−b+c=0)，解得：{b=3c=4)，则抛物线的解析式是y＝﹣x2+3x+4；（2）存在．①当以C为直角顶点时，过点C作CP1⊥AC，交抛物线于点P1，过点P1作y轴的垂线，垂足是M，如图1． ∠ACP1＝90°，∴∠MCP1+∠ACO＝90°． ∠ACO+∠OAC＝90°，∴∠MCP1＝∠OAC． OA＝OC＝4，∴∠MCP1＝∠OAC＝45°，小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com∴∠MCP1＝∠MP1C，∴MC＝MP1，设P（m，﹣m2+3m+4），则m＝﹣m2+3m+44﹣，解得：m1＝0（舍去），m2＝2．∴m＝2，此时﹣m2+3m+4＝6，∴P1的坐标是（2，6）；②当点A为直角顶点时，过A作AP2⊥AC交抛物线于点P2，过点P2作y轴的垂线，垂足是N，AP交y轴于点F，如图2，则P2N∥x轴， ∠CAO＝45°，∴∠OAP2＝45°，∴∠FP2N＝45°，AO＝OF，∴P2N＝NF，设P2（n，﹣n2+3n+4），则﹣n+4＝﹣（﹣n2+3n+4），解得：n1＝﹣2，n2＝4（舍去），∴n＝﹣2，此时﹣n2+3n+4＝﹣6，∴P2的坐标是（﹣2，﹣6）．综上所述：P的坐标是（2，6）或（﹣2，﹣6）；（3）当EF最短时，点P的坐标是（3+❑√172，2）或（3−❑√172，2）．解题过程如下：连接OD，如图3，由题意可知，四边形OFDE是矩形，则OD＝EF．根据垂线段最短可得：当OD⊥AC时，OD（即EF）最短．由（1）可知，在直角△AOC中，OC＝OA＝4．根据等腰三角形的性质可得：D是AC的中点．又 DF∥OC，小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com∴△AFD∽△AOC，∴DFCO=ADAC=12，∴DF¿12OC＝2，∴点D的纵坐标是2，∴点P的纵坐标也是2，解﹣x2+3x+4＝2，得x1¿3+❑√172，x2¿3−❑√172，∴点P的坐标为（3+❑√172，2）或（3−❑√172，2）．2．如图，已知抛物线C1：y＝a（x+2）25﹣的顶点为P，与x轴相交于A、B两点（点A在点B的小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com左边），点B的横坐标是1．（1）求P点坐标及a的值；（2）如图（1），抛物线C2与抛物线C1关于x轴对称，将抛物线C2向右平移，平移后的抛物线记为C3，C3的顶点为M，当点P、M关于点B成中心对称时，求C3的解析式；（3）如图（2），点Q是x轴正半轴上一点，将抛物线C1绕点Q旋转180°后得到抛物线C4．抛物线C4的顶点为N，与x轴相交于E、F两点（点E在点F的左边），当以点P、N、F为顶点的三角形是直角三角形时，求点Q的坐标．【解答】解：（1）由抛物线C1：y＝a（x+2）25﹣得，顶点P的坐标为（﹣2，﹣5）， 点B（1，0）在抛物线C1上，∴0＝a（1+2）25﹣，解得a¿59；（2）连接PM，作PH⊥x轴于H，作MG⊥x轴于G， 点P、M关于点B成中心对称，∴PM过点B，且PB＝MB，∴△PBH≌△MBG，∴MG＝PH＝5，BG＝BH＝3，∴顶点M的坐标为（4，5），（也可以用中点坐标公式）抛物线C2由C1关于x轴对称得到，抛物线C3由C2平移得到，∴抛物线C3的表达式为y¿−59（x4﹣）2+5；小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com（3） 抛物线C4由C1绕点x轴上的点Q旋转180°得到，∴顶点N、P关于点Q成中心对称，由（2）得点N的纵坐标为5，设点N坐标为（m，5），作PH⊥x轴于H，作NG⊥x轴于G，作PK⊥NG于K， 旋转中心Q在x轴上，∴EF＝AB＝2BH＝6，∴FG＝3，点F坐标为（m+3，0）．H坐标为（﹣2，0），K坐标为（m，﹣5）， 顶点P的坐标为（﹣2，﹣5），根据勾股定理得：PN2＝NK2+PK2＝m2+4m+104，PF2＝PH2+HF2＝m2+10m+50，NF2＝52+32＝34，①当∠PNF＝90°...