小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com专题05解二次方程与特殊四边形结合类型一正方形中的二次方程1．如图，已知四边形是边长为4的正方形，以对角线为边作正三角形，过点作，交的延长线于点，则的长是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】【分析】连接EA并延长BD于点O，根据正方形和等边三角形的性质，可求出EA是BD垂直平分线，求出∠DEB，求出∠EDA，从而求出∠EAF=∠FEA=45°，可得到EF=AF，然后设AF=EF=x，则DF=x+4，在Rt△EFD中，由勾股定理得出方程求出即可．【详解】解：如图，连接EA并延长BD于点O，小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com 四边形ABCD是正方形，∴∠ADB=45°，AB=AD，∴A在BD垂直平分线上， 三角形BDE是等边三角形，∴∠BED=∠EDB=∠EBD=60°，ED=EB，∴E在BD的垂直平分线上，∴AE是BD的垂直平分线，∴∠DEO=∠DEB=30°， ∠EDB=60°，∠ADB=45°，∴∠EDA=60°-45°=15°，∴∠EAF=15°+30°=45°， ，∴∠EFA=90°，∴∠FEA=∠EAF=45°，∴EF=AF， 四边形ABCD是正方形，∴AB=AD=4，∠BAD=90°，由勾股定理得：BD=，即ED=BD=，设AF=EF=x，则DF=x+4，在Rt△EFD中，由勾股定理得：ED2=EF2+FD2，∴，小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com解得：（是负数，不符合题意舍去），即AF=．故选：A．【点睛】本题考查了线段垂直平分线性质，等边三角形性质，等腰三角形性质，正方形性质，勾股定理的应用，熟练掌握相关知识是解题的关键．2．如图，在平面直角坐标系中有点A(－4，0)、B(0，3)、P(a，－a)三点，线段CD与AB关于点P中心对称，其中A、B的对应点分别为C、D．当a＝______时，四边形ABCD为正方形【答案】或【解析】【分析】根据坐标求得的长，根据题意可知当PA＝PB＝时，四边形ABCD是正方形，由此构建方程即可解决问题；【详解】解： A(－4，0)、B(0，3)∴∴AB＝5，四边形ABCD为正方形,线段CD与AB关于点P中心对称，是四边形ABCD对角线的交点，，小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.comPA＝PB＝时，四边形ABCD是正方形，∴解得a＝或∴当a＝或时，四边形ABCD为正方形．故答案为：或【点睛】本题考查了中心对称的性质，正方形的性质，解一元二次方程，理解是正方形对角线的交点是解题的关键．3．如图，正方形边长为，则_____________【答案】##【解析】【分析】根据正方形的性质可得，过E作EG⊥BC于G，证明三角形EGC是等腰直角三角形，再根据直角三角形BEG利用勾股定理列方程即可．【详解】过E作EG⊥BC于G小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com 正方形边长为2∴， ∴∴三角形EGC是等腰直角三角形∴，在Rt△BEG中，∴解得：∴∴【点睛】本题考查正方形的性质及勾股定理，解题的关键是证明三角形EGC是等腰直角三角形，最终根据勾股定理列方程计算即可．4．如图，正方形ABCD边长为，△BCD绕B顺时针旋转至△BFE，点C与点F对应，点D与点E对应，连接AE，交BD于点P，当P是AE的中点时，△AEB的面积为___．小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com【答案】【解析】【分析】连接AC交BD于O，连接CE，过点E作EM⊥BC交BC延长线于点M，证得OP是△ACE的中位线，再证得△MCE是等腰直角三角形，利用勾股定理求得ME以及BM的长，即可求解．【详解】解：连接AC交BD于O，连接CE，过点E作EM⊥BC交BC延长线于点M， 四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，OA=OC，∠BOC=90°，∠CDB=45°， 当P是AE的中点，∴AP=EP，∴OP是△ACE的中位线，∴OP∥CE，∴∠CDB=∠DCE=45°，∴∠ECM=45°， EM⊥MC，∴△MCE是等腰直角三角形，∴∠MEC=∠MCE=45°，ME=MC，小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com设ME=MC=a，则BM=BC+MC=a+， DB=AB=，△BCD绕B顺时针旋转至△BFE，∴DB=EB=，在Rt△BME中，,∴,整理得：,解得：或(舍去)，∴BM=+=，∴．故答案为：．【点睛】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，三角形中位线的判定和性质，勾股定理以...