小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com专题23与垂径定理有关的拓展探究1．问题提出（1）如图①，的半径为8，弦，则点O到的距离是__________．问题探究（2）如图②，的半径为5，点A、B、C都在上，，求面积的最大值．问题解决（3）如图③，是一圆形景观区示意图，的直径为，等腰直角三角形的边是的弦，直角顶点P在内，延长交于点C，延长交于点D，连接．现准备在和区域内种植草坪，在和区域内种植花卉．记和的面积和为，和的面积和为．①求种植草坪的区域面积．②求种植花卉的区域面积的最大值．【答案】（1）8；（2）32；（3）①，②．【分析】（1）作交AB于点C，连接OA，利用垂径定理和勾股定理即可求出OC；（2）作交AB于点D，连接OA，可知当CD经过圆心O的时候面积最大，由垂径定理和勾股定理可求出，进一步可求出的面积；（3）①连接OD，OA，求出AD，进一步可求出；②表示出小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com，利用完全平方公式求出，当时，有最大值为．【详解】解：作交AB于点C，连接OA， ，由垂径定理可知：， ，∴；（2）作交AB于点D，连接OA， ，若使面积最大，则CD应最大，∴当CD经过圆心O的时候取值最大，由垂径定理可知：， ，∴，∴，∴，（3）①连接OD，OA，则，小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com 是等腰直角三角形，∴，∴，即是等腰直角三角形，∴， ，，∴是等腰直角三角形， ，，∴，②由①可知：，设，，故， ，∴，当时，等号成立，∴，当时，有最大值为．【点睛】本题考查垂径定理，勾股定理，完全平方公式的应用，等腰直角三角形的判定及性质，（3）小问较难，解题的关键是表示出，求出AD，利用完全平方公式求出．小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com2．问题提出：（1）如图1，已知是边长为2的等边三角形，则的面积为______．问题探究：（2）如图2，在中，已知，，求的最大面积．问题解决：（3）如图3，某校学生礼堂的平面示意图为矩形ABCD，其宽米，长米，为了能够监控到礼堂内部情况，现需要在礼堂最尾端墙面CD上安装一台摄像头M进行观测，并且要求能观测到礼堂前端墙面AB区域，同时为了观测效果达到最佳，还需要从点M出发的观测角．请你通过所学的知识进行分析，在墙面CD区域上是否存在点M满足要求？若存在，求出MC的长度；若不存在，请说明理由．【答案】（1）；（2）；（3）存在，MC的长度为8米或12米．【分析】（1）作AD⊥BC于D，由勾股定理求出AD的长，即可求出面积；（2）作△ABC的外接圆⊙O，可知点A在上运动，当A'O⊥BC时，△ABC的面积最大，求出A'H的长，从而得出答案；（3）以AB为边，在矩形ABCD的内部作一个等腰直角三角形AOB，且∠AOB=90°，过O作HG⊥AB于H，交CD于G，利用等腰直角三角形的性质求出OA，OG的长，则以O为圆心，OA为半径的圆与CD相交，从而⊙O上存在点M，满足∠AMB=45°，此时满足条件的有两个点M，过M1作M1F⊥AB于F，作EO⊥M1F于E，连接OF，利用勾股定理求出OE的长，从而解决问题．【详解】】解：（1）作AD⊥BC于D， △ABC是边长为2的等边三角形，∴BD=1，∴AD==，小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com∴△ABC的面积为，故答案为：；（2）作△ABC的外接圆⊙O， ∠BAC=120°，BC=，∴点A在上运动，当A'O⊥BC时，△ABC的面积最大，∴∠BOA'=60°，BH=CH=，∴OH=3，OB=6，∴A'H=OA'-OH=6-3=3，∴△ABC的最大面积为；（3）存在，以AB为边，在矩形ABCD的内部作一个等腰直角三角形AOB，且∠AOB=90°，过O作HG⊥AB于H，交CD于G， AB=20米，∴AH=OH=10米，OA=10米， BC=24米，∴OG=14米，小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com 10＞14，∴以O为圆心，OA为半径的圆与CD相交，∴⊙O上存在点M，满足∠AMB=45°，此时满足条件的有两个点M，过M1作M1F⊥AB于F，作EO⊥M1F于E，连接OF，∴EF=OH=10米，OM1=10米，∴EM1=14米，∴OE==2米，∴CM1=BF=8米，同理CM2=BH+OE=10+2=12（米），∴MC的长度为8...