小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com24.2.2切线的判定与性质及切线长定理切线的判定定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.注意：切线的判定方法：（1）定义：直线和圆有唯一公共点时，这条直线就是圆的切线；（2）定理：和圆心的距离等于半径的直线是圆的切线；（3）判定定理：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.（切线的判定定理中强调两点：一是直线与圆有一个交点，二是直线与过交点的半径垂直，缺一不可）.题型1：切线的判定-连半径证垂直1.如图，AB为⊙O的直径，AC平分∠BAD交⊙O于点C，CD⊥AD，垂足为点D．求证：CD是⊙O的切线．【答案】证明：连接OC，小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com AC平分∠DAB，∴∠DAC=BAC∠， OC=OA，∴∠BAC=ACO∠，∴∠DAC=ACO∠，∴OCAD∥， CDAD⊥，∴OCDC⊥， OC过圆心O，∴CD是⊙O的切线．【解析】【分析】连接OC，根据角平分线的定义和等腰三角形的性质得出∠DAC=BAC∠，根据平行线的判定得出OCAD∥，根据平行线的性质得出OCDC⊥，再根据切线的判定得出结论。【变式1-1】如图，在⊙O中，AB为直径，BP为⊙O的弦，AC与BP的延长线交于点C，且AB=AC，PE⊥AC于点E，求证：PE是⊙O的切线．【答案】解：连接AP，OP，小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com AB为⊙O直径，∴∠APB=90°，即AP⊥BC，又 AB=AC，∴点P是BC的中点，又 O是AB的中点，∴OP是△ABC的中位线，∴OPAC∥，∴∠OPE=PEC∠，又 PE⊥AC，∴∠PEC=90°，∴∠OPE=90°，∴OP⊥PE．∴PE是⊙O的切线．【解析】【分析】连接AP，OP，由AB为直径可知AP⊥BC，结合AB=AC可得点P为BC的中点，而O是AB的中点可得OP是△ABC的中位线，可知OPAC∥，进而∠OPE=PEC∠，然后结合PE⊥AC，可得OP⊥PE，即可得到结论。【变式1-2】如图，D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上，且∠CDA=∠CBD.求证：CD是⊙O的切线.小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com【答案】证明：连接OD， AB为直径，∴∠ADO+∠BDO=90°，又 ∠CDA=∠CBD，∴∠CDA=∠BDO，∴∠ADC+∠ADO=90°，∴OD⊥CD，∴CD是⊙O的切线.【解析】【分析】连接OD，由圆周角定理可得∠ADO+BDO=90°∠，由已知条件以及等腰三角形的性质可得∠CDA=BDO∠，进而得到∠ADC+ADO=90°∠，据此证明.题型2：切线的判定-作垂直证半径2.ΔABC为等腰三角形，O为底边BC的中点，腰AB与⊙O相切于点D．求证：AC是⊙O的切线．【答案】证明：过点O作OEAC⊥于点E，连结OD，OA，小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com AB与O相切于点D，∴ABOD⊥， △ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，∴AO是∠BAC的平分线，∴OE=OD，即OE是O的半径， AC经过O的半径OE的外端点且垂直于OE，∴AC是O的切线。【解析】【分析】过点O作OEAC⊥于点E，连结OD，OA，再证明OE=OD，可得OE是O的半径，再结合ACOE⊥，即可得到AC是O的切线。【变式2-1】如图，在RtABC△中，∠ABC=90°，∠BAC的平分线交BC于D，以D为圆心，DB长为半径作⊙D．求证：AC与⊙D相切.【答案】证明：过点D作DFAC⊥于F，如图所示： AB为⊙D的切线，小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com∴∠B=90°，∴ABBC⊥， AD平分∠BAC，DFAC⊥，∴BD=DF，∴AC与⊙D相切．【解析】【分析】过点D作DFAC⊥于F，求出BD=DF（半径），即可得出AC是⊙D的切线．【变式2-2】如图，点C在以AB为直径的⊙O上，弧AC＝12弧BC，经过点C与⊙O相切的直线CE交BA的延长线于点D，连接BC，过点D作DFBC∥．求证：DF是⊙O的切线．【答案】解：连接OC，过点O作OG⊥DF，垂足为G 弧AC¿12弧BC∴∠AOC=13∠AOB=60°∴∠ABC=12∠AOC=30° CE切⊙O于点C∴OC⊥CE，即∠DCO=90°∴在ΔDOC中，∠CDO=90°−60°=30° DF/¿CB∴∠ABC=∠GDO=30°∴∠CDO=∠GDO，即DO平分∠CDG OC⊥CE,OG⊥DF∴OC=OG（角平分线性质）∴OG是⊙O的半径∴DF是⊙O的切线（垂径定理）.小学、初中、高中各种试卷真题知...