小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com专题22.1二次函数的字母系数问题【典例1】已知抛物线y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a＜0）经过点（﹣2，0），其对称轴为直线x＝1，有下列结论：①c＞0；②9a+3b+c＞0；③若方程ax2+bx+c+1＝0有解x1、x2，满足x1＜x2，则x1＜﹣2，x2＞4；④抛物线与直线y＝x交于P、Q两点，若PQ¿❑√66，则a＝﹣1；其中，正确结论的个数是（）个．A．4B．3C．2D．1【思路点拨】利用数形结合的方法解答，依据已知条件画出函数的大致图象，依据图象直接得出结论可判定①②③的正确；分别过点P，Q作坐标轴的平行线，则△PHQ为等腰直角三角形，设点P，Q的横坐标分别为m，n，则m，n是方程ax2+（b1﹣）x+c＝0的两根，利用韦达定理和待定系数法可得到用a的代数式表示PQ，利用PQ¿❑√66，列出方程，解方程即可求得a值，即可判定④的结论不正确．【解题过程】解： a＜0，∴抛物线y＝ax2+bx+c的开口方向向下． 抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣2，0），其对称轴为直线x＝1，∴由抛物线的对称性可得抛物线经过点（4，0）．综上抛物线y＝ax2+bx+c的大致图象如下：由图象可知：抛物线与y轴交于正半轴（0，c），小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com∴c＞0．∴①的结论正确；由图象可知：当﹣2＜x＜4时，函数值y＞0，∴当x＝3时，y＝9a+3b+c＞0．∴②的结论正确．作直线y＝﹣1，交抛物线于两点，它们的横坐标分别为x1，x2，如图，则x1，x2是方程ax2+bx+c＝﹣1的两根，即方程ax2+bx+c+1＝0的解为x1、x2，由图象可知：满足x1＜x2，则x1＜﹣2，x2＞4，∴③的结论正确；如图，分别过点P，Q作坐标轴的平行线，它们交于点H，则△PHQ为等腰直角三角形，∴PH＝HQ，PQ¿❑√2HQ．∴{y=ax2+bx+cy=x．∴ax2+（b1﹣）x+c＝0．小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com设点P，Q的横坐标分别为m，n，∴m，n是方程ax2+（b1﹣）x+c＝0的两根，∴m+n¿1−ba，mn¿ca．∴HQ＝|m﹣n|¿❑√(m−n)2=❑√(m+n)2−4mn=❑√(1−ba)2−4ca． 抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣2，0），其对称轴为直线x＝1，∴{4a−2b+c=0−b2a=1．∴{b=−2ac=−8a．∴HQ¿❑√(1+2aa)2+32． PQ¿❑√66，∴❑√2•❑√(1+2aa)2+32=❑√66．解得：a＝﹣1或−13．∴④的结论不正确；综上所述，正确结论有：①②③，故选：B．1．（2022春•永丰县期中）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图，给出下列列结论：①a﹣b+c＜02②a+b＞0③b＞a＞c3|④a|+|c|＜2|b|．其中，正确结论的结论是（）A．①②③B．①③C．②④D．①②④【思路点拨】小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com由x＝﹣1是y＜0判断①，由抛物线开口方向可得a＜0，由抛物线对称轴位置可得−b2a＞1，从而判断②，由一元二次方程根与系数的关系可得x1x2¿ca，从而判断③，由a+b+c＞0，2a+b＞0及a＜0，b＞0，c＜0可判断④．【解题过程】解：由图象可得x＝﹣1时，y＜0，∴a﹣b+c＜0，①正确． 抛物线开口向下，∴a＜0，由抛物线对称轴的位置可得−b2a＞1，∴b＞﹣2a＞0，即2a+b＞0，②正确．设抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的交点为（x1，0），（x2，0），则x1x2¿ca，由图象不能判断x1x2与1的大小关系，∴a与c的大小关系不能确定，③错误． x＝1时，y＝a+b+c＞0，2a+b＞0，∴3a+2b+c＞0，∴3a+c＞﹣2b，﹣3a﹣c＜2b， a＜0，b＞0，c＜0，∴3|a|+|c|＝﹣3a﹣c＜2b，④正确．故选：D．2．（2022•东港区校级一模）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象的一部分如图所示．已知图象经过点（﹣1，0），其对称轴为直线x＝1．下列结论：①abc＞0；②4a+2b+c＜0；③若抛物线经过点（﹣3，n），则关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣n＝0（a≠0）的两根分别为﹣3，5；④5a+c＜0，上述结论中正确结论的个数为（）小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.comA．1个B．2个C．3个D．4个【思路点拨】根据二次函数的图象和性质依次判断即可．【解题过程】解： 抛物线开口向下，与y轴交于正半轴，∴a＜0，c＞0． 对称轴为...