小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com专题24.3圆与三角形的综合【典例1】在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，CA＝CB，点D是△ABC外一动点（点B，点D位于AC两侧），连接CD，AD．（1）如图1，点O是AB的中点，连接OC，OD，当△AOD为等边三角形时，∠ADC的度数是；（2）如图2，连接BD，当∠ADC＝135°时，探究线段BD，CD，DA之间的数量关系，并说明理由；（3）如图3，⊙O是△ABC的外接圆，点D在´AC上，点E为AB上一点，连接CE，DE，当AE＝1，BE＝7时，直接写出△CDE面积的最大值及此时线段BD的长．【思路点拨】（1）由等腰直角三角形的性质得∠COA＝90°，CO＝OA，再由等边三角形的性质得OD＝OA，∠ODA＝∠DOA＝60°，然后求出∠ODC＝75°，即可求解；（2）过点C作CH⊥CD交AD的延长线于点H，证△ACH≌△BCD（SAS），得BD＝AH＝HD+DA¿❑√2CD+AD；（3）连接OC，由勾股定理得CE＝5，过点O作ON⊥CE于N，延长ON交⊙O于点D，此时点D到CE的距离最大，△CDE面积的面积最大，然后由三角形面积求出ON¿125，则DN＝OD﹣ON¿85，即可求解三角形CDE的面积最大值，最后用勾股定理借助（2）的结论求出AD，即可求出BD．【解题过程】小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com解：（1） ∠BCA＝90°，BC＝AC，点O是AB的中点，∴∠COA＝90°，CO¿12AB＝OA， △AOD是等边三角形，∴OD＝OA，∠ODA＝∠DOA＝60°，∴OC＝OD，∠COD＝∠COA﹣∠DOA＝90°60°﹣＝30°，∴∠ODC¿12（180°﹣∠COD）¿12×（180°30°﹣）＝75°，∴∠ADC＝∠ODC+∠ODA＝75°+60°＝135°，故答案为：135°；（2）解：线段BD，CD，DA之间的数量关系为：BD¿❑√2CD+DA，理由如下：过点C作CH⊥CD交AD的延长线于点H，如图2所示：则∠CDH＝180°﹣∠ADC＝180°135°﹣＝45°，∴△DCH是等腰直角三角形，∴CH＝CD，HD¿❑√2CD， ∠BCA＝90°，∴∠ACH＝∠BCD，∴△ACH≌△BCD（SAS），∴BD＝AH＝HD+DA¿❑√2CD+AD；（3）解：连接OC，如图3所示：小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com ∠BCA＝90°，BC＝AC，∴△ACB是等腰直角三角形，∴∠ABC＝45°， ⊙O是△ABC的外接圆，∴O是AB的中点，∴OC⊥AB，OC＝OA¿12AB¿12（AE+BE）¿12×（1+7）＝4，∴OE＝OA﹣AE＝41﹣＝3，在Rt△COE中，由勾股定理得：CE¿❑√OC2+OE2=❑√42+32=¿5， CE是定值，∴点D到CE的距离最大时，△CDE面积的面积最大， AB是⊙O的直径，过点O作ON⊥CE于N，延长ON与⊙O的交点恰好是点D时，点D到CE的距离最大，△CDE面积的面积最大， S△OCE¿12OC•OE¿12CE•ON，∴ON¿OC⋅OECE=4×35=125， OD＝OC＝4，∴DN＝OD﹣ON＝4−125=85，此时，在Rt△CNO中，CN¿❑√OC2−ON2=❑√42−(125)2=165，在Rt△CND中，CD¿❑√CN2+DN2=❑√(165)2+(85)2=8❑√55，小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com在Rt△ABD中，BD2＝AB2﹣AD2＝82﹣AD2，由（2）知，BD¿❑√2CD+AD¿❑√2×8❑√55+¿AD¿8❑√105+¿AD，∴82﹣AD2＝（8❑√105+¿AD）2，∴AD¿6❑√105，∴BD¿8❑√105+¿AD¿8❑√105+6❑√105=14❑√105，即△CDE面积的面积最大值为4，此时，BD¿14❑√105．1．（2022·全国·九年级专题练习）已知AB为⊙O的直径，AB=6，C为⊙O上一点，连接CA,CB．(1)如图①，若C为´AB的中点，求∠CAB的大小和AC的长；(2)如图②，若AC=2,OD为⊙O的半径，且OD⊥CB，垂足为E，过点D作⊙O的切线，与AC的延长线相交于点F，求FD的长．【思路点拨】（1）由圆周角定理得∠ACB=90°，由C为´AB的中点，得´AC=´BC，从而AC=BC，即可求得∠CAB的度数，通过勾股定理即可求得AC的长度；（2）证明四边形ECFD为矩形，FD=CE=12CB，由勾股定理求得BC的长，即可得出答案．【解题过程】解：（1） AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，由C为´AB的中点，得´AC=´BC，小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com∴AC=BC，得∠ABC=∠CAB，在Rt△ABC中，∠ABC+∠CAB=90°，∴∠CAB=45°；根据勾股定理，有AC2+BC2=AB2，又A...