小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com专题24.4圆与四边形的综合【典例1】如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC为直径，AC和BD交于点E，AB＝BC．（1）求∠ADB的度数；（2）过B作AD的平行线，交AC于F，试判断线段EA，CF，EF之间满足的等量关系，并说明理由；（3）在（2）条件下过E，F分别作AB，BC的垂线，垂足分别为G，H，连接GH，交BO于M，若AG＝3，S四边形AGMO：S四边形CHMO＝8：9，求⊙O的半径．【思路点拨】（1）由直径所对的圆周角为直角及等腰三角形的性质和互余关系可得答案；（2）线段EA，CF，EF之间满足的等量关系为：EA2+CF2=EF2．如图2，设∠ABE=α，∠CBF=β，先证明α+β=45°，再过B作BNBE⊥，使BN=BE，连接NC，判定△AEBCNB△≌（SAS）、△BFEBFN≌△（SAS），然后在RtNFC△中，由勾股定理得：CF2+CN2=NF2，将相关线段代入即可得出结论；（3）如图3，延长GE，HF交于K，由（2）知EA2+CF2=EF2，变形推得S△ABC=S矩形BGKH，S△BGM=S四边形COMH，S△BMH=S四边形AGMO，结合已知条件S四边形AGMO：S四边形CHMO=8：9，设BG=9k，BH=8k，则CH=3+k，求得AE的长，用含k的式子表示出CF和EF，将它们代入EA2+CF2=EF2，解得k的值，则可求得答案．【解题过程】解：（1）如图1，小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com AC为直径，∴∠ABC＝90°，∴∠ACB+BAC∠＝90°， AB＝BC，∴∠ACB＝∠BAC＝45°，∴∠ADB＝∠ACB＝45°；（2）线段EA，CF，EF之间满足的等量关系为：EA2+CF2＝EF2．理由如下：如图2，设∠ABE＝α，∠CBF＝β， ADBF∥，∴∠EBF＝∠ADB＝45°，又∠ABC＝90°，∴α+β＝45°，过B作BNBE⊥，使BN＝BE，连接NC， AB＝CB，∠ABE＝∠CBN，BE＝BN，∴△AEBCNB≌△（SAS），∴AE＝CN，∠BCN＝∠BAE＝45°，∴∠FCN＝90°． ∠FBN＝α+β＝∠FBE，BE＝BN，BF＝BF，∴△BFEBFN≌△（SAS），小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com∴EF＝FN， 在RtNFC△中，CF2+CN2＝NF2，∴EA2+CF2＝EF2；（3）如图3，延长GE，HF交于K，由（2）知EA2+CF2＝EF2，∴12EA2+12CF2＝12EF2，∴SAGE△+SCFH△＝SEFK△，∴SAGE△+SCFH△+S五边形BGEFH＝SEFK△+S五边形BGEFH，即SABC△＝S矩形BGKH，∴12SABC△＝12S矩形BGKH，∴SGBH△＝SABO△＝SCBO△，∴SBGM△＝S四边形COMH，SBMH△＝S四边形AGMO， S四边形AGMO：S四边形CHMO＝8：9，∴SBMH△：SBGM△＝8：9， BM平分∠GBH，∴BG：BH＝9：8，设BG＝9k，BH＝8k，∴CH＝3+k， AG＝3，∴AE＝3❑√2，∴CF＝❑√2（k+3），EF＝❑√2（8k3﹣）， EA2+CF2＝EF2，∴(3❑√2)2+[❑√2(k+3)]2=[❑√2(8k−3)]2，小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com整理得：7k26k1﹣﹣＝0，解得：k1＝﹣17（舍去），k2＝1．∴AB＝12，∴AO＝❑√22AB＝6❑√2，∴⊙O的半径为6❑√2．1．（2022·广东深圳·三模）如图，正方形ABCD内接于⊙O，线段MN在对角线BD上运动，若⊙O的面积为8π，MN=2，则ΔAMN周长的最小值是（）A．6B．8C．9D．10【思路点拨】由正方形的性质，知点C是点A关于BD的对称点，过点C作CA'/¿BD，使得CA'=2，连接AA'交BD于N，取NM=2，连接AM、CM，则点M，N为所求点，则点M，N为所求点，进而即可求解．【解题过程】解： ⊙O的面积为πr2=8π，∴圆的半径为2❑√2，∴BD=AC=4❑√2，由正方形的性质，可知点C是点A关于BD的对称点，过点C作CA'/¿BD，使得CA'=2，连接AA'交BD于N，取NM=2，连接AM、CM，则点M，N为所求点，如图所示，小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com理由： A'C/¿MN，且A'C=MN，则四边形MCA'N为平行四边形，则A'N=CM=AM，则AA'=❑√(4❑√2)2+22=6，故△AMN的周长最小值为AM+AN+MN=AA'+2=6+2=8，故选B．2．（2022·浙江·宁波市鄞州蓝青学校九年级期末）在△ABC中，若O为BC边的中点，则必有：AB2+AC2＝2AO2+2BO2成立．依据以上结论，解决如下问题：如图，在矩形DEFG中，已知DE＝6，EF＝4，点M在以半径为2的⊙D上运动，则MF2+MG2的最大值为（）A．104...