串讲06反比例函数九年级人教版数学上册期末大串讲思维导图知识串讲基础专题+素养专题反比例函数定义图象性质x，y的取值范围增减性对称性k的几何意义应用在实际生活中的应用在物理学科中的应用思维导图考点1.反比例函数的概念定义：形如________(k为常数，k≠0)的函数称为反比例函数，其中x是自变量，y是x的函数，k是比例系数．三种表达式方法：或xy＝k或y＝kx－1(k≠0)．kyxkyx【注意】(1)k≠0；(2)自变量x≠0；(3)函数y≠0.考点串讲【例1】下列函数：①y＝－1x；②xy＝2；③y＝x7；④y＝－x－1；⑤y＝－53x；⑥y＝－x－1；⑦yx＝1；⑧y＝1x2中，y是x的反比例函数的有(填序号)．①②④⑤考点1.反比例函数的概念【思路分析】根据反比例函数的定义及反比例函数解析式的三种形式进行判断．【方法归纳】判断一个函数是否是反比例函数，先看它能否写成y＝kx，y＝kx－1，xy＝k的形式；再看k是否为常数且k是不是不等于0，只有同时满足k是常数且k≠0这两个条件的函数才是反比例函数．考点串讲【例2】已知y是x的反比例函数，当x＝－2时，y＝8.(1)写出y与x的函数解析式；(2)求当x＝3时y的值．【思路分析】(1)因为y是x的反比例函数，所以可设该函数的解析式为y＝kx(k≠0)，把已知x、y的一组对应值代入求出k的值，可得函数的解析式；(2)把x＝3代入所求的函数解析式可得y的值．考点2.待定系数法求反比例函数解析式【规范解答】(1)设y与x的函数解析式为y＝kx(k≠0)．因为当x＝－2时，y＝8，所以k＝xy＝－16，所以y与x的函数解析式为y＝－16x；(2)当x=3时，代入y＝－16x可得y=163.【方法归纳】求反比例函数解析式的关键在于确定比例系数k，因此只需知道x与y的一组对应值即可求得．考点串讲考点3.反比例函数的图象反比例函数的图象：反比例函数(k≠0)的图象是，它既是轴对称图形又是中心对称图形.反比例函数的两条对称轴为直线和；对称中心是：.双曲线原点kyxy=xy=－x考点串讲【例3】画反比例函数y＝4x的图象．【思路分析】我们采用描点法画它的图象，在列表时，由于自变量x的取值范围为x≠0，故x的取值应以原点O为中心向两边取三对(或三对以上)互为相反数的数．考点3.反比例函数的图象【规范解答】列表：x－8－4－3－2－1－121212348y＝4x－12－1－43－2－4－884243112描点：以表中各组对应值作为点的坐标，在直角坐标系内描出相应的点．连线：用平滑的曲线顺次连接各点，即得反比例函数y＝4x的图象(如图)．【方法归纳】画反比例函数的图象时，应按照列表、描点、连线三个步骤进行，它区别于一次函数只需画出两点，反比例函数的图象需描出尽可能多的点，才能使所画的图象更准确，同时连线时一定要用平滑的曲线连接．考点串讲图象所在象限性质(k≠0)k＞0第______象限(x，y同号)在每个象限内，y随x的增大而____k＜0第______象限(x，y异号)在每个象限内，y随x的增大而____kyxxyoxyo一、三二、四减小增大考点4.反比例函数的性质考点串讲【例4】已知反比例函数y＝6－kx，分别根据下列条件求出k的取值范围：(1)函数图象位于第一、三象限；(2)在每个象限内，y随x的增大而增大．【思路分析】(1)图象位于第一、三象限，则6－k＞0；(2)每一象限内，y随x增大而增大，则6－k＜0.【规范解答】(1) 函数图象位于第一、三象限，∴6－k＞0，∴k＜6；(2) 在每个象限内，y随x的增大而增大，∴6－k＜0，∴k＞6.【方法归纳】反比例函数图象的位置、增减性是由比例系数决定的．考点4.反比例函数的性质考点串讲考点5.反比例函数比例系数k的几何意义k的几何意义：反比例函数图象上的点(x，y)具有两坐标之积(xy＝k)为常数这一特点，即过双曲线上任意一点，向两坐标轴作垂线，两条垂线与坐标轴所围成的矩形的面积为.规律：过双曲线上任意一点，向两坐标轴作垂线，一条垂线与坐标轴、原点所围成的三角形的面积为．2k|k|考点串讲【例5】已知A为双曲线y＝kx图象上的点，点O为坐标原点，过点A作AB⊥x轴于点B，连接OA，若△AOB的面积为5，求k的值．【思路分析】根据反比例函图象上点的坐标特征及三角形的面积公式可求得k的值．考点5.反比例函数比例系数k的几何意义【规范解答】设点A的坐标为(x，y)，那么OB＝|x|，AB＝...