串讲02二次函数九年级人教版数学上册期末大串讲思维导图知识串讲常用技巧/结论知识导图实际问题归纳抽象二次函数y=ax2+bx+c实际问题的答案利用二次函数的图象和性质求解图象目标性质知识串讲一般地，形如y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的函数叫做x的二次函数，其中x是自变量，a,b,c分别是二次项系数、一次项系数和常数项.温馨提示：（1）等号左边是变量y，右边是关于自变量x的整式；（2）a,b,c为常数，且a≠0;（3）等式的右边最高次数为2，可以没有一次项和常数项，但不能没有二次项.考点一、二次函数的概念【例1】下列哪些函数是二次函数？①y＝2x2；②y＝11－x2；③y＝x(x＋3)；④y＝2x2－(x2＋1)；⑤y＝ax2＋bx＋c.【思路分析】先把关系式化简整理，再看是否是整式及二次项系数是否为0.【规范解答】①③④是二次函数，②不是二次函数，⑤不一定是二次函数，只有当a≠0时，才是二次函数．题型一：能正确地识别二次函数．知识串讲【例2】某汽车城销售某种型号的汽车，每辆进货价为25万元，市场调研表明：当销售价为29万元时，平均每周能售出8辆．而当销售价每降低0.5万元时，平均每周能多售出4辆．如果设每辆汽车降价x万元，每辆汽车的销售利润为y万元．(1)求y与x的函数关系式，在保证商家不亏本的前提下，写出x的取值范围；(2)假设这种汽车平均每周的销售利润为z万元，试写出z与x之间的函数关系式．【思路分析】(1)销售价为(29－x)万元，进货价为25万元，根据销售利润公式即可写出；(2)每周的销售利润＝每辆汽车的销售利润×销售辆数．题型二：会建立二次函数关系式．【规范解答】(1)y＝29－x－25，所以y＝－x＋4(0≤x≤4)；(2)z＝(8＋x0.5×4)y＝(8x＋8)(－x＋4),所以z＝－8x2＋24x＋32(0≤x≤4).知识串讲y＝ax2a>0a<0图象位置开口方向对称性顶点最值增减性开口向上,在x轴上方开口向下,在x轴下方a的绝对值越大，开口越小关于y轴对称，对称轴方程是直线x＝0顶点坐标是原点（0，0）当x=0时，y最小值=0当x=0时，y最大值=0在对称轴左侧递减在对称轴右侧递增在对称轴左侧递增在对称轴右侧递减yOxyOx考点二、二次函数的图象与性质：知识串讲解析式形状开口方向对称轴顶点坐标顶点高低函数最值函数的增减性a＞0a＜0a＞0a＜0a＞0a＜0a＞0a＜0y=ax2+k﹙a≠0)向上x=0向下最低最高对称轴左侧y随x增大而减小，对称轴右侧y随x增大而增大对称轴左侧y随x增大而增大，对称轴右侧y随x增大而减小（0，k）最小，y=k最大，y=k抛物线二次函数y=ax2+k（a≠0）的图象和性质知识串讲a＞0时，开口,最____点是顶点;a＜0时，开口,最____点是顶点;对称轴是，顶点坐标是.向上低向下高直线x=h(h,0)二次函数y=a（x-h)2的特点知识串讲二次函数y=a（x-h)2+k的特点a＞0时，开口,最点是顶点;a＜0时，开口,最点是顶点;对称轴是，顶点坐标是.向上低向下高直线x=h(h,k)知识串讲二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质1.一般地，二次函数y=ax2+bx+c的可以通过配方化成y=a(x-h)2+k的形式，即2224().24bacbyaxbxcaxaa因此，抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标是：对称轴是：直线24(,).24bacbaa.2bxa知识串讲【例3】在直角坐标系中画出y＝5x2的图象，并指出其开口方向和顶点坐标．【思路分析】先取一些值列表，再在坐标系中描点，最后用平滑的曲线连接各点．题型三：会画二次函数y＝ax2的图象【规范解答】图象如图所示开口向上，顶点坐标为(0,0)．【方法归纳】描点法所画的图象只是整个图象的一部分，是近似的，在连接线时应用平滑的曲线连接，在取点时，x＝0是必取的值．知识串讲【例4】已知函数y＝(m＋2)xm2＋m－4是关于x的二次函数，求：(1)满足条件的m值；(2)m为何值时，抛物线有最低点？求出这个最低点，这时当x为何值时，y随x的增大而增大？(3)m为何值时，函数有最大值？最大值是什么？这时当x为何值时，y随x的增大而减小？【规范解答】(1)由题意得m2＋m－4＝2m＋2≠0，解得m＝2或m＝－3m≠－2，∴m＝2或m＝－3；题型四：会用二次函数y＝ax2的性质解题．(2)依题意得m＋2＞0，即m＞－2，∴取m＝2.∴这个最低点的坐标为(0,0)．当x＞0时，y随x的增大而增大；(3)若函数有最大值，则抛物线开口向下，∴m＋2＜0，即...