第1页共224页专题09二次函数中线段周长最值及定值问题（八大题型）通用的解题思路：一、二次函数中的线段最值问题有三种形式:1.平行于坐标轴的线段的最值问题:常通过线段两端点的坐标差表示线段长的函数关系式,运用二次函数性质求解，求最值时应注意:①当线段平行于y轴时,用上端点的纵坐标减去下端点的纵坐标;②当线段平行于x轴时,用右端点的横坐标减去左端点的横坐标.在确定最值时,函数自变量的取值范围应确定正确。2.两条线段和的最值问题:解决这类问题最基本的定理就是“两点之间线段最短”,解决这类问题的方法是:作其中一个定点关于已知直线的对称点,连接对称点与另一个定点,它们与已知直线的交点即为所求的点,其变形问题有三角形周长最小或四边形周长最小等.【常见模型一】（两点在河的异侧）：在直线L上找一点M，使PA+PB的值最小.方法：如右图，连接AB，与直线L交于点M,在M处渡河距离最短，最短距离为线段AB的长。【常见模型二】（两点在河的同侧）：在直线L上找一点M，使PA+PB的值最小.方法：如右图，作点B关于直线L的对称点B’，连接AB’,与直线L的交点即为所求的渡河点，最短距离为线段AB’的长。3.两条线段差的最值问题：解决这类问题最基本的定理就是“三角形任何两边之差小于第三边”，解决这类问题的方法是：求解时,先根据原理确定线段差取最值时的图形,再根据已知条件求解。【常见模型一】（两点在同侧）：在直线L上求一点P,求|PA-PB|的最大值第2页共224页方法：如右图，延长射线AB，与直线L交于点P，|PA-PB|最大值为AB【常见模型二】（两点在异侧）：在直线L上求一点P,求|PA-PB|的最大值。方法：如右图，作点B关于直线L的对称点B’，延长射线AB’，与直线L交于点P，|PA-PB|最大值为AB’二、二次函数中的定值问题一般来说，二次函数求解几何线段代数式定值问题属于定量问题，方法采用:1.参数计算法:即在图形运动中，选取其中的变量(如线段长，点坐标)作为参数,将要求的定值用参数表示出，然后消去参数即得定值。2.韦达定理法:当涉及到直线(一次函数图象或x轴)与二次函数交点时，先联立方程消去y之后整理得到一元二次方程，借助韦达定理可得到交点横坐标与参数的关系，可以将要求的定值代数式用交点横坐标的和或积表示，往往会刚好抵消掉参数，则得到定值。压轴题预测题型01利用二次函数解决单线段的最值问题1．（2024·河南·一模）如图，抛物线24yaxbx与x轴交于点(2A，0)和点(4B，0)，与y轴交于点C．(1)求抛物线的函数解析式；(2)点P为抛物线位于第一象限上一个动点，过点P作PDx轴于点D，交直线BC于点Q，求线段PQ的最大值；第3页共224页(3)点(2M，8)，(3N，8)，将抛物线向上平移m个单位，若平移后的抛物线与线段MN只有一个公共点，直接写出m的取值范围．2．（2024·甘肃平凉·一模）如图，抛物线2yaxbxc经过点2,0A，点4,0B，交y轴于点0,4C．连接,.ACBCD为OB上的动点，过点D作EDx轴，交抛物线于点E，交BC于点G．(1)求这条抛物线的函数表达式；(2)过点E作EFBC，垂足为F，设点D的坐标为,0m，请用含m的代数式表示线段EG的长，并求出当m为何值时EG有最大值，最大值是多少？(3)点D在运动过程中，是否存在一点G，使得以,,ODG为顶点的三角形与AOC相似．若存在，请求出此时点G的坐标；若不存在，请说明理由．第4页共224页3．（2024·山西阳泉·一模）综合与探究如图，二次函数213442yxx的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，对称轴与x轴交于点D，连接AC，作直线BC．(1)求A，B，C三点的坐标，并直接写出直线BC的表达式；(2)如图1，若点P是第四象限内二次函数图象上的一个动点，其横坐标为m，过点P分别作x轴、y轴的垂线，交直线BC于点M，N，试探究线段MN长的最大值；(3)如图2，若点Q是二次函数图象上的一个动点，直线BQ与y轴交于点H，连接CD，在点Q运动的过程中，是否存在点H，使以H，C，B为顶点的三角形与ACD相似？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．4．（2024·湖北襄阳·一模）抛物线223yxx的图象与x轴交于A，B两点（A在B的左边）交y轴于点C，点P是y轴右侧抛物线上的一...